Un simpatico sistema

[Bruno]

...

Trovare tutte le soluzioni del seguente sistema:

x + y - xy = 0
x³ + y³ + x² + y² = 0 .


A presto

[Info]

eccola scritta in TeX

$\{x+y-xy=0\\x^3+y^3+x^2+y^2=0$

da cui (considero solo la prima

$x+y-xy=0\rightarrow y-xy=-x\rightarrow y\(1-x\)=-x\rightarrow \{y=-\frac{x}{1-x}\\1-x\ne 0$

proseguiamo tornando al primo sistema

$\{y=-\frac{x}{1-x}\\1-x\ne 0\\x^3+y^3+x^2+y^2=0$

sostituisco y nella terza condizione e riarrangio

$\{y=-\frac{x}{1-x}\\1-x\ne 0\\x^3-\(\frac{x}{1-x}\)^3+x^2-\(\frac{x}{1-x}\)^2=0$

raccolgo $x^3$ e $x^2$, porto avanti solo la terza equazione

$x^3\(1-\frac1{1-x}\)^3+x^2\(1-\frac1{1-x}\)^2=0\rightarrow x^3\(-\frac{x}{1-x}\)^3+x^2\(-\frac{x}{1-x}\)^2=0\rightarrow\\\rightarrow -\frac{x^6}{\(1-x\)^3}-\frac{x^4}{\(1-x\)^2}=0\rightarrow -x^6-x^4\(1-x\)=0\rightarrow x^6-x^5+x^4=0$

rimetto nel sistema iniziale

$\{y=-\frac{x}{1-x}\\1-x\ne 0\\x^6-x^5+x^4=0$

analizzo il caso, escluso dalla procedura $1-x=0\rightarrow x=1$
che vediamo nel primo sistema

$\{1+y-y=0\\1^3+y^3+1^2+y^2=0$
non ha soluzioni (1=0 nella prima condizione)

torno al sistema modificato

$\{y=-\frac{x}{1-x}\\\;\\\overbrace{1-x\ne 0}^{non\; serve}\\x^6-x^5+x^4=0$

prendo solo la terza equazione

$x^6-x^5+x^4=0\rightarrow\{x^2-x+1=0\\x\ne 0$

la prima ha $\Delta$ negativo $\Delta=\(-1\)^2-4$ (ha soluzioni complesse)

verifico la soluzione esclusa nel primo sistema

$\{y=0\\y^3+y^2=0$ ho trovato una soluzione possibile $\{x=0\\y=0$, per le altre bisogna risolvere l'equazione complessa

[Bruno]

...

Ok, Info: non riesco al momento a seguire tutti i
tuoi passaggi (spero di ritornarci presto sopra,
comunque), ma il quiz chiedeva tutte le soluzioni.
L'ho definito simpatico perché, con pochi accorgimenti,
si risolve abbastanza bene.

Ciao e a presto

[Info]

riprendiamo il sistema, forse ho capito la procedura che dici

$\{x+y-xy=0\\x^3+y^3+x^2+y^2=0$

prendo la seconda equazione

$x^3+y^3+x^2+y^2=0\rightarrow x^3+x^2=-\(y^3+y^2\)\rightarrow \(x+1\)x^2=-\(y+1\)y^2$

condizione che si verifica solo se $\{y=0\\x=0$ perchè sono due operazioni uguali ma opposte, e vediamo che verifica anche la prima. quindi è l'unica soluzione possibile.

[Bruno]

...

Ciao, Info, ho appena visto il tuo post.
Sempre che mi sia rimasta un po' di lucidità, mi vengono
queste osservazioni.
Tu arrivi a concludere che le due incognite siano nulle
perché ci troviamo di fronte a uno stesso tipo di operazione
ma di segno opposto. E' così?
Guardiamo un attimo questi semplici esempi, allora:
2x=-2y, x+y=-(x+y), etc.
Troviamo subito che x=-y, ma ciò non significa che entrambe
le variabili possano essere unicamente nulle.
Cosa ne dici?
In realtà il sistema in questione ha più soluzioni, sia reali che
complesse (e bisognerebbe trovarle tutte), una delle quali
è effettivamente quella che tu hai indicato.

A presto!

[Tino]

Ciao ragassi,

io ho trovato un metodo interessante, anche se non cortissimo: poniamo $z=xy$. Allora da $x^3+y^3+x^2+y^2=(x+y)^3+(x+y)^2-3xy(x+y)-2xy$ usando la prima equazione $z=x+y$, la seconda equazione si riscrive come

$z^3-2z^2-2z=0$

che dà subito la soluzione $z=xy=0$ che combinata con la prima dà $x=y=0$. Quando $z \neq 0$, dividendo per z,

$z^2-2z+1-3=0$

ovvero

$(z-1)^2=3$

che dà come soluzioni

$z_{1,2}=1 \pm \sqrt{3}$

Detto quindi $\alpha_k=1+(-1)^k \sqrt{3}$ e $x_k,\ y_k$ i valori di x e y corrispondenti si ha dalla prima equazione e da $y_k=\frac{\alpha_k}{x_k}$

$x_k^2-\alpha_k x_k+\alpha_k=0$

che dà come soluzioni

$x_k_{(1,2)}=\frac{\alpha_k \pm \sqrt{\alpha_k^2-4 \alpha_k}}{2}$

Ora, $\alpha_k^2-4\alpha_k=(-1)^{k+1} 2 \sqrt{3}$ e quindi si deve avere

$x \in \{\frac{1-\sqrt{3}+\sqrt{2\sqrt{3}}}{2},\frac{1-\sqrt{3}-\sqrt{2\sqrt{3}}}{2} \frac{1+\sqrt{3}+i\sqrt{2\sqrt{3}}}{2},\frac{1+\sqrt{3}-i\sqrt{2\sqrt{3}}}{2}\}$

che dà le altre quattro soluzioni (due reali, due complesse non reali) ricavando la y dalla relazione $y_k=\frac{\alpha_k}{x_k}$

Ciao

[Bruno]

...

BRAVO Tino

Il metodo che ci hai appena mostrato è sostanzialmente
quello che conosco anch'io.

Bruno