Sempre a proposito di triangoli (non solo equilateri)

[Bruno]

...

Abbiamo il triangolo $\,ABC$. Con $\,I\,$ indichiamo il suo incentro.

Bisognerebbe dimostrare che abbiamo sempre ed esattamente:

$\frac{\overline{AI} \cdot \overline{BI} \cdot \overline{CI}}{R \cdot r^{\script 2}}=4$

essendo $\,R\,$ ed $\,r\,$ i raggi delle circonferenze circoscritta e inscritta
del triangolo $\, ABC$.


Bruno

[leandro]

Ricordiamo alcune formule valide per i triangoli.
$\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}$ e formule analoghe per gli altri angoli
$R=\frac{abc}{4S},r=\frac{S}{p}$
Pertanto si ha:
$AI \cdot BI \cdot CI=\frac{r}{\sin(\alpha/2)} \cdot \frac{r}{\sin(\beta/2)} \cdot\frac{r}{\sin(\gamma/2)}=\frac{abcr^3}{(p-a)(p-b)(p-c)}$
Oppure:
$AI \cdot BI \cdot CI=4\cdot\frac{abcr^2}{4(p-a)(p-b)(p-c)}\cdot\frac{S}{p}=4\cdot\frac{abc}{4S^2}\cdot Sr^2=4Rr^2$
Saluti a tutti e complimenti a Bruno ,inesauribile fonte di quesiti sempre
interessanti.
Leandro