panurgo ha scritto:Comincerò domani a far girare i triangoli...
Il primo angolo che voglio considerare è 15°: dovrebbe essere evidente che, con tale inclinazione, il rettangolo diventa un quadrato e il triangolo torna ad essere isoscele.
Rispetto al caso precedente si hanno maggiori gradi di libertà perché la lunghezza del segmento $\overline{AB_{\script 2}}$ non è più costretta ad essere un numero intero pari. Comunque, è
$\frac {\overline{BB_{\script 2}}}{\overline{AB}} \approx \tan{\, 15^\circ} = 2 - \sqrt {3}$
Si tratta quindi di trovare i punti $B_{\script 2}$ che approssimano bene tale tangente. Usando, mutatis mutandis, lo stesso algoritmo di prima si ottengono i valori
[1] 34
[1] 7865521 5757961 2107560 1542841 564719 413403 151316 110771 40545
[10] 29681 10864 7953 2911 2131 1351 780 571 362
[19] 209 153 97 56 41 26 15 11 7
[28] 4 3 2 1 1 1 0
[1] 29354524 21489003 7865521 5757961 2107560 1542841 564719 413403
[9] 151316 110771 40545 29681 10864 7953 5042 2911
[17] 2131 1351 780 571 362 209 153 97
[25] 56 41 26 15 11 7 4 3
[33] 2 1
[1] 0.2679492 0.2679492 0.2679492 0.2679492 0.2679492 0.2679492 0.2679492
[8] 0.2679492 0.2679492 0.2679492 0.2679492 0.2679492 0.2679492 0.2679492
[15] 0.2679492 0.2679492 0.2679493 0.2679497 0.2679487 0.2679510 0.2679558
[22] 0.2679426 0.2679739 0.2680412 0.2678571 0.2682927 0.2692308 0.2666667
[29] 0.2727273 0.2857143 0.2500000 0.3333333 0.5000000 0.0000000
A voi la migliore approssimazione!
A questo punto, vediamo se ci sono dei triangoli papabili con inclinazioni diverse.
Per effettuare la ricerca teniamo presente che $h$ è compreso tra $\lfloor \frac {\sqrt {3}} {2} b \rfloor$, valore che assume quando $\theta=0$, e $b$, quando $\theta=15^\circ$, $x$ è compreso tra $0$ e $\lceil \left(2 - \sqrt {3} \right)b \rceil$ (quando $\theta = 15^\circ$) e $y$ si ricava dalla relazione
$tan \left(30^\circ + \theta \right) = \frac {\frac {1} {\sqrt {3}} + \tan \theta} {1 - \frac {1} {\sqrt {3}} \tan \theta} = \frac {b - y} {h - x}$
essendo $\tan \theta = \frac x b$, si ottiene l'approssimazione per difetto
$y = b - \lfloor {\left( {h - x} \right)\frac{{b + \sqrt 3 x}}{{\sqrt 3 b - x}}} \rfloor$
Resta da verificare se $y + 1$ non fornisca una approssimazione (per eccesso) migliore.
Per valutare l'approssimazione ricordiamo che un triangolo è tanto più equilatero quanto più i suoi lati sono uguali: lo scarto tipo relativo dei tre lati ci dà quindi una misura diretta della bontà dell'approssimazione.
Ecco l'algoritmo (in R)
l eps) { # fino a che il più piccolo cv è grande
for (h in (floor (b*sqrt(3)/2):b)) { # scorro i valori di h
for (x in (0: (1 + floor (b*(2 - sqrt(3)))))) { # scorro i valori di x
y <- b - floor ((h - x)*(b + x*sqrt(3))/(b*sqrt(3) - x)) # calcolo y approssimato per difetto
l[1] <- sqrt (b^2 + x^2) # calcolo la lunghezza del primo lato
l[2] <- sqrt ((b - y)^2 + (h - x)^2) # calcolo la lunghezza del secondo lato
l[3] <- sqrt (h^2 + y^2) # calcolo la lunghezza del terzo lato
cv <- sqrt (mean(l^2) - mean(l)^2)/mean(l) # calcolo lo scarto tipo relativo
if (cv < min (cve)) { # se è abbastanza piccolo
be <- c(b, be) # ricordo b
he <- c(h, he) # ricordo h
xe <- c(x, xe) # ricordo x
ye <- c(y, ye) # ricordo y
cve <- c(cv, cve) # ricordo lo scarto tipo relativo
}
y <- y + 1 # calcolo y approssimato per eccesso
l[1] <- sqrt (b^2 + x^2) # calcolo la lunghezza del primo lato
l[2] <- sqrt ((b - y)^2 + (h - x)^2) # calcolo la lunghezza del secondo lato
l[3] <- sqrt (h^2 + y^2) # calcolo la lunghezza del terzo lato
cv <- sqrt (mean(l^2) - mean(l)^2)/mean(l) # calcolo lo scarto tipo relativo
if (cv < min (cve)) { # se è abbastanza piccolo
be <- c(b, be) # ricordo b
he <- c(h, he) # ricordo h
xe <- c(x, xe) # ricordo x
ye <- c(y, ye) # ricordo y
cve <- c(cv, cve) # ricordo lo scarto tipo relativo
}
}
}
b <- b + 1 # ecco il nuovo b: si riparte
}
print (length (be))
print (be)
print (he)
print (xe)
print (ye)
print (cve)
Questa ricerca è un bel po' più costosa in termini computazionali: ora lancio lo script e domani vedremo quali triangoli scaleni sono buone approssimazioni dell'equilatero.
