Divisibilita'

[leandro]

Provare che per ogni intero $n \geq 0$ il numero:

$9^{2n+1}+6^{n+1}$ e' divisibile per 15
Leandro

[Bruno]

...

Ciao Leandro!

Non ho trovato il tempo (e quindi il modo) di affrontare i tuoi quesiti
della scorsa settimana (interessanti), ma su questo penso di riuscire
a dire due cosine veloci veloci.
Per n=0, abbiamo immediatamente 9+6=15.
Per n>0, il numero indicato è sicuramente un multiplo almeno di 9.
Inoltre sappiamo che, per un generico naturale n e per certi s e u:

$(mr-1)^{\script 2n+1} = ms-1 \\ (mt+1)^{\script n} = mu+1$

e lo si dimostra facilmente anche senza aver presente lo sviluppo
binomiale di Newton (per esempio, trattando le potenze come una
successione di prodotti...), quindi:

$(10-1)^{\script 2h+1} = 10p-1 \\ (5+1)^{\script k} = 5\cdot(2q+1)+1=10q+6,$

per certi p e q, così $\,9^{\script 2h+1}+6^{\script k}\,$ risulta sempre un multiplo di 5.

Per n>0, dunque, il numero proposto è sempre divisibile per 45=9·5.

> Seconda via (scorciatoia).

Le potenze $\,6^{\script h}\,$ (per un generico h intero e positivo) terminano
sempre con 6.
Le potenze $\,9^{\script 2k+1}\,$ (per un generico k intero non negativo) terminano
invece con 9, essendo $\,9^{\script 2k+1}=9\cdot 81^{\script k}\,$.
La somma di due numeri come questi, allora, deve terminare con 5,
dal momento che 9+6=15.
Sia 9 che 6 son divisibili per 3, quindi l'intera espressione di Leandro
dev'essere divisibile per 15.

Finita pausa

Bruno

[Admin]

Uhm... sono un pò in ritardo.

Ottimo quiz Leandro!

Bruno, io ho utilizzato la tua seconda via per la risoluzione del quiz;
trovo molto interessante però la prima via.

Grazie!

Ciao
Admin

[leandro]

Concordo con Admin sulla soluzione di Bruno.
Solo una cosa:ma c'era anche un altro procedimento ?
Leandro

[Bruno]

Solo una cosa: ma c'era anche un altro procedimento?

...sì, all'inizio ne avevo messo un altro, ma poi l'ho trovato inutilmente
ridondante rispetto all'ultimo che ho proposto.
Comunque, grazie degli apprezzamenti