Il solito sistema

[leandro]

Determinare le soluzioni reali del sistema seguente:
$\{x+y)^5=z\\(y+z)^5=x\\(z+x)^5=y$
E dato che lo risolverete subito, vi propongo immediatamente
un secondo quesito .
Sia f(n) una funzione cosi' definita f:N->N
Calcolare f(2006) sapendo che per ogni n di N e':
$f(f(n))+2f(n)=3n+4$
Leandro

[antonio]

Per quanto riguarda il sistema,
una soluzione è sicuramente quella banale (x,y,z) = (0,0,0).
Un'altra si può ottenere supponendo x = y = z e il risultato è
x = y = z = $\frac{\sqr[3]{8}}{4}$ ;
Sto cercando le altre.

[mathmum]

Leandro, fai il bravo, dimmi che non bisogna fare contacci per il sistema (o no?)
Waring? (spero di no)
Per il secondo quesito, CHE BELLO, mi viene un risultato....innaturale!
sono al punto di fusione. e non solo per il caldo.
tornerò a mente + fresca....
ciao

[Admin]

Per il secondo quesito ho trovato per tentativi approssimanti (al 2° per l'esattezza) che

$f(n) = n+1;$

infatti:

$f(f(n))+2f(n)=3n+4\quad\Rightarrow\quad f(n+1)+2\cdot(n+1) = 3n+4\quad\Rightarrow\quad (n+1)+1+2\cdot(n+1) = 3n+4\quad\Rightarrow\quad 3n+4=3n+4$

e quindi $f(2006)=2006+1=2007$.

solo che matematicamente non saprei come dimostrarlo.

Ciao
Admin

[leandro]

Per il sistema le soluzioni reali trovate da Admin sono le
uniche possibili.Per dimostrarlo si puo' osservare che se fosse
per esempio x<y si avrebbe che ......(contraddizione !)
Niente calcolo stratosferici dunque.
Anche per il secondo quesito la soluzione di Admin e' giusta.
La dimostrazione si puo' ottenere osservando che il secondo
membro della relazione e' lineare rispetto ad n e quindi
anche f(n) deve essere.....
Saluti a tutti .
Leandro

[Admin]

Ciao Lenadro,
implicitamente, nel proseguire per tentativi avevo ipotizzato che f(n) fosse lineare rispetto ad n;
quindi per il secondo quesito (ed in generale per i problemi simili) la soluzione è da ricercarsi solo per tentativi?
non ci sono altre vie?

P.S: mi hai erroneamente attribuito le soluzioni del sistema;
il merito va ad Antonio.

Ciao
Admin

[leandro]

Chiedo scusa per lo scambio di persona.
Per il 2° quesito forse scopro l'acqua calda se dico che quello
delle equazioni funzionali e' un campo assai infido dove
l'unica regola certa e' che..non ci sono regole.Almeno per quel che ne so.
Io mi sono basato sulla forma della eguaglianza proposta e ho posto f(n)=an+b
Sostituendo si ha :
[a(an+b)+b]+2(an+b)=3n+4 da cui:
$(a^2+2a)n+(ab+3b)=3n+4$
Per il principio d'identita' dei polinomi deve essere:
$a^2+2a-3=0,ab+3b=4}$
E da qui (scartando la soluzione a=-3) : a=1,b=1 da cui appunto
f(n)=n+1
A risentirci (se interessa metto un quesito sulla divisibilita')
Leandro

[Bruno]

...

Ottimo Leandro!
A me è capitato di ragionare così (cambia appena la forma,
ma penso che la sostanza sia la stessa di Leandro).
Per n=0, dev'essere f(0)=c=costante.
Quindi:
f(f(0))+2·f(0)=3·0+4=4, cioè: f(c)+2·c=4, f(c)=4-2·c.
Perciò (per a e b da determinare):
f(0)=a·0+b=c $\;\to\;$ b=c
f(c)=a·c+b=4-2·c $\;\to\;$ c·(a+3)=4.
Siccome la funzione è definita nell'insieme dei numeri naturali
(fra parentesi, a non può essere negativo poiché in tal caso,
da un certo n in poi, si avrebbe sempre f(n)<0), posso senz'altro
ritenere a+3=4 (a=1) e c=1, e ciò significa, alla fine: f(n)=n+1.

(Se&o)