Un quesito per voi

[Quelo]

Determinare tutti gli interi positivi $n$ tali che $6^n-1$ divida $7^n-1$

Lo trovate qui: http://users.mat.unimi.it/users/giochi/quesiti/que.html
(potete anche inviare la vostra soluzione)

[Admin]

Dunque,
si nota che il numero $6^n$ termina sempre con la cifra 6, per qualunque $n$;
quindi il numero $6^n-1$ termina sempre con 5; ossia è divisibile per 5.

$6^n-1 \equiv 0\, \pmod 5$

Ora affinchè $6^n-1$ divida $7^n-1$, condizione necessaria è che anche quest'ultimo sia divisibile per 5:

$7^n-1 \equiv 0\, \pmod 5$

semplificando si ha:

$7^n-1 \equiv 2^n-1\, \pmod 5 \equiv \left(2^{\small4}\right)^{\frac n 4}\,\pmod 5 \equiv (1)^{\frac n 4}-1\, \pmod 5$

da cui si ricava che affinche $7^n-1$ sia divisibile per 5, n deve essere multiplo di 4 ossia $n=4c$;

sostituendo ad $n$, $4c$ si ottiene:

$6^{4c}-1$

si nota che tale numero è divisibile per 7; infatti:

$6^{4c}-1 \equiv (6^4)^c-1\,\pmod 7 \equiv (36\cdot36)^c-1\,\pmod 7 \equiv (1\cdot1)^c-1\,\pmod 7\equiv 0\,\pmod7$

però il numero $7^n-1$ chiaramente non è divisibile per 7;

quindi non esistono valori di $n$ tali che $6^n-1$ divida $7^n-1$.

SE&O

Admin

[Bruno]

...

Bravo Pietro!

Mi hai anticipato: avevo appena finito di scrivere la risposta
ma per fortuna ho visto in tempo la tua. Poiché ho ragionato
sostanzialmente come te (che onore ), ho evitato di spedirla.
Solo due minime osservazioni.
Il fatto che l'esponente debba essere un multiplo di 4 può essere
rivelato direttamente anche dal piccolo teorema di Fermat.
Gli ultimi tre moduli che hai scritto sono riferiti senz'altro a 7.

A presto! (Forse...)

Bruno

[Admin]

oops...
facendo un copia incolla non ho cambiato gli ultimi 3 moduli!
per fortuna avevo scritto SE&O

in effetti in primis avevo determinato che $n=4c$ mediante Fermat;
però questa è una soluzione particolare e non è detto che sia unica;

ad es. se faccio $11^n \pmod5$ mediante fermat sappiamo che

$(11^n)^4 -1 \equiv 0\, \pmod5$

ma questa non è l'unica soluzione in quanto in questo caso la cifra finale di $11^n$ è sempre 1 e quindi il numero $11^n-1$ è sempre divisibile per 5.

Di nuovo SE&O.

Ciao
Admin

P.S.: Bruno, perchè dopo i saluti hai messo quel forse.. tra parentesi? Vacanze...?

[Bruno]

...

Pietro, hai perfettamente ragione! Il caldo mi sta offuscando, scusami
per la mia scarsa chiarezza...
Volevo dire che le congruenze rimanenti, oltre a quella determinata con
Fermat:

$7^{\script 4k} \equiv 1 \, \pmod5$

sono:

$7^{\script 4k+1} \equiv 7 \equiv 2 \; \pmod5 \\ 7^{\script 4k+2} \equiv 49 \equiv -1 \; \pmod5 \\ 7^{\script 4k+3} \equiv 343 \equiv -2\; \pmod5$

quindi la prima diventa l'unica ammissibile.

P.S.: Bruno, perchè dopo i saluti hai messo quel forse.. tra parentesi? Vacanze...?

...ahimé non ancora, il forse è legato agli impegni di lavoro.
Ultimamente, spesso riesco a malapena a leggere i testi dei quesiti

Ciao

[Admin]

Grazie Bruno,
non avevo pensato ad incrementare l'esponente di 1, 2, e 3, per valutare i restanti casi.

Ciao