Su due piedi

[Bruno]

...


1) $\,$ Trovare il massimo comun divisore di tutti i numeri interi di sei cifre costituiti
ripetendo un numero di tre cifre (per esempio: 438438 o 207207).


2) $\,$ Guardando la figura seguente, sappiamo che $\script ABCD$ è un quadrato,
mentre $\script EBC$ è un triangolo equilatero: quanto vale l'angolo $\script D\hat E A$?

[Admin]

1)

indicando il numero di 3 cifre che si ripete con $x$, i numeri di sei cifre formati dalla ripetizione di $x$ possono essere scritti come:

$x\cdot10^3+x = x\cdot(10^3+1)=x\cdot 1001$

quindi il M.C.D. è 1001.

Admin

[delfo52]

x admin
sono interessato, e lo ho già detto, a conoscere, e magari comprendere, i meccanismi mentali che portano alla soluzione dei problemi.
Sono davvero affascinato, a volte, dalla varietà di approcci, di passaggi, eccetera. Tutti "veri" e tutti "giusti", eppure così diversi.
nel quiz dei numeri di sei cifre, la tua soluzione è concettualmente uguale a quella che ho "visto" nel momento stesso che leggevo il testo.
solo che, mentre tu hai diligentemente formalizzato il pensiero, il mio procedimento è stato empiricamente questo:
vedendo scritto 438438 nella mia "lavagna cerebrale" è apparsa la addizione 438000+
----438

(messi in colonna pareggiati a destra
La cosa è la trasposizione visiva della tua espressione, e i passaggi successivi sono banali.
Vorrei chiederti se anche tu hai bisogno di passare dal pratico al teorico, o se riesci a formalizzare direttamentre "senza passare dal via"

[Admin]

Ciao delfo,
ho ragionato esattamente come te;
il pensiero iniziale è stato 438438=438000+438
(scritto proprio così sulla mia "lavagna cerebrale"; non in colonna)

da cui banalmente 438*1001.

Ma non ho ben capito cosa intendi per pratico;
intendi il fatto di mettere in colonna?

In effetti questo quiz non è molto articolato;
sarebbe interessante un'analisi dei meandri del ragionamento in quesiti più complessi.

Mi piacerebbe anche discutere sulle tecniche e gli artifizi mentali utilizzati per effettuare calcoli a mente (cosa che a me è sempre piaciuta molto).

Ciao
Admin

[delfo52]

il passaggio "cruciale", che credo faciliti molto il progresso nelle conoscenze matematiche, è il passaggio da 438000 a 438* 10^3
oltre che la generalizzazione del numero in "n"
A me è sempre risultato ostico questo tipo di passaggio. Preferivo, e preferisco, le situazioni in cui si opera nel senso inverso...!!??!!
Ricordo l'impatto con i primi "prodotti notevoli" e la idiosincrasia per imparare a memoria il loro sviluppo.
Trovavo nettamente più gratificante e più facile cercare da capo la soluzione ogni volta che se ne presentava l'occasione, piuttosto che applicare formule fredde "sulla fiducia".
Capirete bene perchè il mio curriculum di studi matematici si è interrotto moooolto presto.

Riguardo i metodi di calcolo veloce, io mi affido moltissimo alla capacità (innata ma anche esercitata) di fare a mente le addizioni, e le moltiplicazioni/divisioni per 2.
Ricordo, ad esempio, i calcoli che facevo nel 1970, la prima volta a Londra. La sterlina valeva 1750 lirette.
Sulla lavegna cerebrale facevo:
n*1000
1000n * 2
a parte:
1000n /2 e il risultato ancora diviso 2 (per ottenere 250n
a questo punto se la sottrazione di 250n da 2000n era facile, il gioco era finito.
Se non era una sottrazione facile, preferivo fare 250n +* 2 e poi +250n per ottenere 750n da aggiungere a 1000n
A scriverlo è una cosa lunghissima, ma a farlo è di una facilità sconcertante.

Dividere e moltiplicare rapidamente per 2 è poi utilissimo anche perchè permette di fare anche le operazioni complementari.
moltiplicare per 2 , e togliere uno zero = dividere per 5
dividere per 2; ancora dividere per 2 e aggiungere due zeri = moltiplicare x 25
e così via

Per fare i quadrati, ho imparato a memoria i risultati più semplici, in modo da saperne, dopo i primi 20, circa uno ogni 4 o 5. Perchè? perchè partendo da un quadrato noto, aggiungendo (o togliendo) due numeri consecutivi si passa al quadrato "adiacente".
Es. se so a memoria che 25^2 = 625
per arrivare a 26^2 basta aggiungere un 25 e un 26 (= 25+1). pertanto 25*2 = 50. 50+1 = 51. 625 +51 = 676

Per ora basta

[Admin]

Ciao delfo,
per i calcoli a mente io anch'io mi servo della moltiplicazione e divisione per 2 che uso più o meno implicitamente;
per le moltiplicazioni, in primis utilizzo di default la proprietà distributiva;
ossia per calcolare as es. 19*35 io faccio 19*30+20*4.

In realtà, mi concedo sempre un minimo di tempo iniziale (5 o 6 secondi) per vedere se ci sono altre vie per effettuare il calcolo in modo da risparmiare tempo (Non sempre lo risparmio).

Ad. es. nella moltiplicazione di cui sopra è possibile fare 20*35 e poi sottrarre 35 al prodotto, e si fa prima;

chiaramente il discorso e soggettivo;
nel senso che alcuni fanno più velocemente alcune operazioni, altri altre.

Comunque ci sarebbe da parlare per ore.

penso sia meglio aprire un nuovo topic, vediamo cosa ne viene fuori...
lascio a te l'onore e l'onere...

Ciao
Admin

[Admin]

2)

Essendo il triangolo equilatero si ha: $\bar{CB}=\bar{BE}=\bar{EC}$.
Quindi $\bar{EC}=\bar{DC}$ (il triangolo EDC è isoscele)
e $\bar{EB}=\bar{AB}$ (il triangolo EBA è isoscele)

per cui, da queste semplici considerazioni e sapendo che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180° è facile ricavare tutti gli angoli della figura, ossia:



Quindi $D\hat{E}A = 150^{\circ}$.

Admin

[delfo52]

correggi subito il lato sbagliato nel triangolo isoscele di sinistra !

[Admin]

fatto!

[Admin]

Sempre riguardo i calcoli a mente, ho trovato questa pagina di "Aritmetica rapida":

http://www.na.iac.cnr.it/even/arit_rapida.htm

Admin