Stuzzichini

[Admin]

QUATTRO:

Un altro divisore è il 13.

Infatti

$3^5=243\equiv 9\,(mod\,13)$
$4^5=1024\equiv 10\,(mod\,13)$

quindi

$3^{105}+4^{105}=(3^5)^{7\cdot3}+(4^5)^{7\cdot3}\equiv 9^{7\cdot3}+10^{7\cdot3}\,(mod\,13)\equiv 27^{7\cdot2}+(-3)^{7\cdot3}\,(mod\,13)\equiv \\ \equiv 1^{7\cdot2}+(-27)^7\,(mod\,13)\equiv 1+(-1)^7\,(mod\,13)\equiv 0\,(mod\,13)$

Automaticamente quindi, un altro divisore è $13\cdot7=91$.
Altre considerazioni immediate:

-la somma è certamente dispari per cui non vi possono essere divisori pari
-la somma non è divisibile nè per 3 nè per 4; e quindi neanche per i loro multipli
-la somma non è divisibile nè per 5 nè per 11; e quindi neanche per i loro multipli

Provo domani per gli altri divisori.

Bruno,
mi chiedevo se da $3^{105}+4^{105}\equiv 0\,(mod\, x)$ fosse possibile ricavare una equazione lineare in x la cui sol. ci darebbe tutti i divisori della somma in questione.

Admin

[Bruno]

(...) mi chiedevo se da $3^{105}+4^{105}\equiv 0\,(mod\, x)$ fosse possibile ricavare
una equazione lineare in x la cui sol. ci darebbe tutti i divisori della somma in questione.

Interessante prospettiva! Però non mi viene in mente nulla,
anche perché quella congruenza significa che $3^{\script 105}+4^{\script 105}$
è un multiplo esatto di $\,x\,$ e questo mi porterebbe al momento
a cercare soprattutto le possibili scomposizioni della somma
indicata. Chissà...


^^^^^^^

Ps - Ho trovato un comando per rappresentare il modulo fra
parentesi, è questo:

Codice: Seleziona tutto

\pmod x

e si visualizza così:

$\pmod x$

che ha un buon aspetto e non costringe a distanziare mod
dal numero con "\,".

Alla prossima settimana

[Pasquale]

CINQUE



$\text B\hat{A}C=20^\circ; A\hat{D}C =100^\circ$

da cui:

$A\hat{B}C=B\hat{C}A=80^\circ$

$C\hat{A}D=A\hat{C}D=40^\circ$

$B\hat{C}D=B\hat{C}A+A\hat{C}D=80^\circ+40^\circ=120^\circ$

Su $\bar{AB}$ individuo P, tale che $\bar{AP}=\bar{AD}=\bar{CD}$

Poiché $P\hat{A}D=60^\circ$, il triangolo PAD è equilatero con $\bar{AP}=\bar{AD}=\bar{PD}=\bar{CD}$; inoltre $C\hat{D}P=40^\circ$

Ne consegue che il triangolo PDC è isoscele e che $D\hat{P}C=P\hat{C}D=70^\circ$; da cui ancora:

$B\hat{C}P=B\hat{C}D - P\hat{C}D=120^\circ - 70^\circ=50^\circ$; per cui: $B\hat{P}C=50^\circ$

Dunque il triangolo BPC è isoscele e $\bar{BP}=\bar{BC}$

Conclusione: $\bar{AB}=\bar{BP}+\bar{AP}=\bar{BC}+\bar{CD}$

[Admin]

Ciao Bruno,
grazie per la segnalazione sul comando;

io conoscevo solo il comando

Codice: Seleziona tutto

\bmod x

che produce

$\bmod x$

senza parentesi.

Lo aggiungerò al topic dei comandi Tex.
Grazie ancora.

Ciao
Admin

[Bruno]

...


Qualche idea sul $\,$ DUE ?


Ciao a tutti

[panurgo]

DUE



$A = \frac {h \times c}2 = \frac {\sqrt 3}4 bc = \frac {\sqrt 3}4 \left \[ \left ( c - \frac b 2 \right)^{\script 2} + \frac 3 4 b^{\script 2} - \left ( b - c \right)^{\script 2} \right \] = \frac {\sqrt 3}4 \left \[ \overline {\text DB}^{\script 2} + h^{\script 2} - \left ( b - c \right)^{\script 2} \right \]= \frac {\sqrt 3}4 \left \[ a^{\script 2} - \left ( b - c \right)^{\script 2} \right \]$

dove

$\overline {\text AD} = \frac b 2 \\ h = \overline {\text CD} = \frac {\sqrt{3}b} 2$

derivano dalle proprietà del triangolo equilatero

[Bruno]

CINQUE



$\text B\hat{A}C=20^\circ; A\hat{D}C =100^\circ$

da cui:

$A\hat{B}C=B\hat{C}A=80^\circ$

$C\hat{A}D=A\hat{C}D=40^\circ$

$B\hat{C}D=B\hat{C}A+A\hat{C}D=80^\circ+40^\circ=120^\circ$

Su $\bar{AB}$ individuo P, tale che $\bar{AP}=\bar{AD}=\bar{CD}$

Poiché $P\hat{A}D=60^\circ$, il triangolo PAD è equilatero con $\bar{AP}=\bar{AD}=\bar{PD}=\bar{CD}$; inoltre $C\hat{D}P=40^\circ$

Ne consegue che il triangolo PDC è isoscele e che $D\hat{P}C=P\hat{C}D=70^\circ$; da cui ancora:

$B\hat{C}P=B\hat{C}D - P\hat{C}D=120^\circ - 70^\circ=50^\circ$; per cui: $B\hat{P}C=50^\circ$

Dunque il triangolo BPC è isoscele e $\bar{BP}=\bar{BC}$

Conclusione: $\bar{AB}=\bar{BP}+\bar{AP}=\bar{BC}+\bar{CD}$

Mi piace molto questa tua risoluzione, Pasquale

Grazie (e grande) a Panurgo per la risoluzione della prima parte del "Due".

Bruno

[panurgo]

Grazie [...] a Panurgo per la risoluzione della prima parte del "Due"

DUE



$A = \frac {h \times c}2 = \frac {\sqrt 3}4 bc = \frac {\sqrt 3}4 \left \[ \left ( c - \frac b 2 \right)^{\script 2} + \frac 3 4 b^{\script 2} - \left ( b - c \right)^{\script 2} \right \] = \frac {\sqrt 3}4 \left \[ \overline {\text DB}^{\script 2} + h^{\script 2} - \left ( b - c \right)^{\script 2} \right \]= \frac {\sqrt 3}4 \left \[ a^{\script 2} - \left ( b - c \right)^{\script 2} \right \]$

dove

$\overline {\text AD} = \frac b 2 \\ h = \overline {\text CD} = \frac {\sqrt{3}b} 2$

derivano dalle proprietà del triangolo equilatero

$A^{\script \prime} \equiv \triangle A^{\script \prime}BC\quad A \equiv \triangle ABC \quad E \equiv \triangle AA^{\script \prime}C \\ A^{\script \prime} = A - E = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left[ {a^{\script 2} - \left( {b - c} \right)^{\script 2} } \right] - \frac{{\sqrt 3 }}{4}b^{\script 2} \\ c^{\script \prime} = c - b \\ A^{\script \prime} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left[ {a^{\script 2} - c^{\script \prime 2} - b^{\script 2} } \right] = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\left[ {a^{\script 2} + 2a^{\script 2} - 3c^{\script \prime 2} - 3b^{\script 2} } \right] \\ a^{\script 2} = \frac{3}{4}b^{\script 2} + \left( {c^{\script \prime} + \frac{b}{2}} \right)^{\script 2} = b^{\script 2} + bc^{\script \prime} + c^{\script \prime 2} \\ A^{\script \prime} = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\left[ {a^{\script 2} + 2 \left(b^{\script 2} + bc^{\script \prime} + c^{\script \prime 2} \right) - 3c^{\script \prime 2} - 3b^{\script 2} } \right] = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\left[ {a^{\script 2} - \left( {b^{\script 2} - 2bc^{\script \prime} + c^{\script \prime 2} } \right)} \right] = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\left[ {a^{\script 2} - \left( {c^{\script \prime} - b} \right)^{\script 2} } \right]$