Stuzzichini

[Bruno]

...

I quesiti che seguono hanno varie provenienze (Hugo Steinhaus, Olimpiadi
della matematica etc.) e forse li conoscete già.
Penso tuttavia che potrebbero divertirvi lo stesso, anche se li conoscete, se
non altro perché è sempre interessante cercare eventuali altri metodi
risolutivi e comunque non portano via tanto tempo.


ZERO

Trovare il valore di questa terribilissima somma:

$\frac {1}{2}+\(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\)+\(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}\)+\,...\,+\(\frac{1}{1001}+\frac{2}{1001}+\frac{3}{1001}+ \,...\, +\frac{1000}{1001}\)\;\;$

[Bruno]

UNO

Dimostrare che, per ogni terna naturale (a,b,c), il numero

$5^{\script 5a+1}+4^{\script 5b+2}+3^{\script 5c}$

è divisibile per 11.

[Bruno]

DUE

Dimostrare, senza servirsi della trigonometria, che in un triangolo
con un angolo di 60° l'area A è data dalla formula:

$A =\[a^{\script 2}-\(b-c\)^{\script 2}\]\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\,,$

essendo a, b e c i lati e a opposto all'angolo dato.
Se l'angolo dato è invece di 120°, l'area diventa:

$A =\[a^{\script 2}-\(b-c\)^{\script 2}\]\cdot \frac{\sqrt{3}}{12}\,.$

[Bruno]

TRE

Dimostrare che non esistono numeri interi a, b e c tali che:

$a^{\script 2}+b^{\script 2}-8\cdot c = 6\,.$

[Bruno]

QUATTRO

Dimostrare che il numero

$3^{\script 105}+4^{\script 105}$

non è divisibile per 5 e nemmeno per 11.
Quanti divisori minori di 400 riuscite a trovare?

[Bruno]

CINQUE

In questo disegno (*)



sono stati rappresentati due triangoli isosceli:
ABC con base BC e DAC con base AC.
Dobbiamo dimostrare (se ci va) che AB=BC+CD.


(*) proveniente dal sito Progetto Olimpiadi della Matematica

[delfo52]

ZERO
sono mille pezzi
il primo vale 1/2
i successivi si incrementano di mezzo a colpo
il buon vecchio Gauss avrebbe qualcosa da dire....
se faccio bene i conti, il millesimo termine vale 500
sommando il primo e l'ultimo, facciamo 500,5
anche il secondo + il penultimo fanno 500,5
e così per cinquecento coppie
per un totale, a occhio, di 2.502.500

[Admin]

Ciao Bruno,
anzitutto ti ringrazio per i quiz proposti.

Vado col QUATTRO:

Considero i due termini della somma separatamente; si ha:

$3^{105}=(27)^{5\cdot7}\equiv 2^{5\cdot7}\,(mod\,5)\equiv 2^7\, (mod\,5)\equiv 3\, (mod 5)$
$4^{105}\equiv (-1)^{105}\,(mod\,5)\equiv -1 \,(mod\,5)\equiv 4 \,(mod\,5)$

per cui

$3^{105}+4^{105}\equiv 3+4\,(mod\,5)\equiv2\,(mod\,5)$

Quindi la somma in questione non è divisibile per 5.

Per la non divisibilità per 11, essendo 11 un numero primo ed essendo sia 3 che 4 coprimi con 11, ossia $MCD(3,11)=1$ e $MCD(4,11)=1$, possiamo applicare il piccolo teorema di Fermat; si ha:

$3^{11}\equiv 3\, (mod\, 11)$ e $4^{11}\equiv 4\, (mod\, 11)$

scomponendo i due addendi della somma ed applicando queste congruenze, si ottiene:

$3^{105}=3^{99}\cdot3^6=(3^{11})^9\cdot3^6\equiv 3^9\cdot3^6\,(mod\,11)=3^{15}=3^{11}\cdot3^4\equiv 3\cdot3^4\,(mod\,11)\equiv 3\cdot4\,(mod\,11)\equiv 1\,(mod\,11)$

e

$4^{105}=4^{99}\cdot4^6=(4^{11})^9\cdot4^6\equiv 4^9\cdot4^6\,(mod\,11)=4^{15}=4^{11}\cdot4^4\equiv 4\cdot4^4\,(mod\,11)=\\= 4\cdot2^4^2\equiv 4\cdot5^2\,(mod\,11)\equiv 4\cdot3\,(mod\,11)\equiv 1\,(mod\,11)$

Quindi
$3^{105}+4^{105}\equiv 1+1\,(mod\,11)\equiv2\,(mod\,11)$

Ma qualcosa mi dice che c'è un procedimento più veloce...

Quanto ai divisori ho trovato che è divisibile per 7; con analogo procedimento utilizzato per la div. per 11, si ha:

$3^7\equiv 3 \,(mod\,7)$ e $4^7\equiv 4 \,(mod\,7)$

$3^{105}=3^7^{15}\equiv 3^{15}\,(mod\,7)=3^7^2\cdot3\equiv 3^2\cdot3\,(mod\,7)\equiv 6\,(mod\,7)$

con le stesse semplificazioni per $4^{105}$ si giunge a:

$4^{105}\equiv 4^2\cdot4\,(mod\,7)\equiv 1\,(mod\,7)$

Quindi $3^{105}+4^{105}\equiv 6+1\,(mod\,7)\equiv0\,(mod\,7)$

Admin

[Admin]

ZERO

l' n-esimo termine della somma vale:

$\frac{1+2+3+\cdot\cdot\cdot+n}{n+1} = \frac{\frac{n\cdot(n+1)}{2}}{n+1} =\frac n 2$

l'ultimo termine della somma è il millesimo;
quindi la somma vale:

$\sum_{n=1}^{1000} \frac n 2 \quad=\quad \frac12\cdot(1+2+3+\cdot\cdot\cdot+1000)=250250$

Admin

[Admin]

UNO

Scomponiamo la somma in:

$5^{5a}\cdot5+4^{5b}\cdot4^2+3^{5c}$

si nota che:

$5^{5a}=(5^3\cdot5^2)^a\equiv (4\cdot3)^a\,(mod\,11)\equiv 1^a\, (mod\,11)\equiv 1\, (mod\,11)$

$4^{5b}=(4^3\cdot4^2)^a\equiv (-2\cdot5)^a\,(mod\,11)\equiv 1^a\, (mod\,11)\equiv 1\, (mod\,11)$

$3^{5b}=(3^3\cdot3^2)^a\equiv (5\cdot-2)^a\,(mod\,11)\equiv 1^a\, (mod\,11)\equiv 1\, (mod\,11)$

quindi

$5^{5a}\cdot5+4^{5b}\cdot4^2+3^{5c}\equiv 1\cdot5+1\cdot16+1\,(mod\,11)=22\equiv 0\,(mod\,11)$

Admin

[delfo52]

mi cospargo il capo di cenere, ma il brutto vizio di non scrivere, mi ha fatto saltare la virgola, per cui il mio risultato era sbagliato di un bel fattore dieci !!!!

[leandro]

Faccio il TRE
Scriviamo cosi' l'eguaglianza:
$a^2+b^2=2(4c+3)$
da cui si vede che ,essendo il 2° membro pari,a e b devono
avere la medesima parita'.

1° caso : a ,b entrambi pari.
Poniamo allora a=2h,b=2k e si ha:
$4(h^2+k^2)=2(4c+3)$ oppure $2(h^2+k^2)=4c+3$
e questa eguaglianza e' impossibile per valori interi in quanto
i due membri hanno parita' diversa.

2° caso: a,b entrambi dispari.
Poniamo ora a=2h+1,b=2k+1 e si ha:
$4h^2+4h+1+4k^2+4k+1=2(4c+3)$ ,ovvero:
$h(h+1)+k(k+1)=2c+1$
Anche in questo caso l'eguaglianza e' impossibile per valori interi
in quanto il primo membro e' pari (il prodotto di due interi consecutivi
e' pari) mentre il 2° e' ovviamente dispari.
leandro

[leandro]

Si prolunghi AD fino ad intersecare BC in E e su CE si prenda D'
tale che risulti CD=CD'.In tal modo il triangolo CDD' risulta equilatero.
Facendo un po' di calcolo sugli angoli (lascio a voi la verifica altrimenti
dovrei scrivere un "papiello") si trova la situazione descritta in figura.
Si ha allora:
AB=BD'=BC+CD'=BC+CD
c.v.d.
Leandro.
P.S.
Ho cercato su Oliforum ( che talvolta frequento) il presente quesito,
senza pero' trovarlo.Pertanto quanto precede e' pura farina del ...mio sacco!

[Bruno]

...

Bravo Enrico: al di là della virgola, hai centrato il problemino e
anche agilmente

Ottimo anche a Pietro!
Resta da completare la parte dei divisori del punto QUATTRO
(se ne posson trovare diversi).
Riguardo alla tua sensazione:

Ma qualcosa mi dice che c'è un procedimento più veloce...

non ricordo bene come ho trattato la questione (forse non ho
neppure usato esplicitamente le congruenze), ma adesso che
la riguardo mi viene un sospetto e per fortuna verifico che è
fondato:

$3^{\script 5}=243=11\cdot 22+1 \\ 4^{\script 5}=1024=11\cdot 93+1 \, ,$

cioè:

$\{ {3^{\script 5}\equiv 1 \\ 4^{\script 5}\equiv 1} \; (mod \, 11) \;\to^{\small \forall h,k\in N} \;\{ {3^{\script 5h}\equiv 1 \\ 4^{\script 5k}\equiv 1} \; (mod \, 11)\; \to \; 3^{\script 5h}+4^{\script 5k}\equiv 2 \; (mod \, 11).$

L'indivisibilità per 11, quindi, è più generale.
Ragionando con mod 10, ho visto che è così anche quella
per 5 (si può infatti estendere a ogni potenza di 3 e 4 con
esponente dispari).

[Bruno]

(...) quanto precede e' pura farina del ...mio sacco!

Nessunissimo dubbio, carissimo Leandro
A tutti noi, credo, non piace rispondere ricopiando le soluzioni altrui,
anche se questo non significa che i nostri metodi siano inediti (di
sicuro, non i miei...).
Anche a me, sai, è capitato di ragionare più o meno come te e ciò mi
ha fatto sentire un pochino... bravo
A qualcuno viene un'altra idea?

Ottimo Leandro anche per il TERZO!


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PS - Il problema geometrico è stato presentato a un'olimpiade o a una gara di
matematica (ma non ricordo più quale).