Stuzzichini
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Stuzzichini
...
I quesiti che seguono hanno varie provenienze (Hugo Steinhaus, Olimpiadi
della matematica etc.) e forse li conoscete già.
Penso tuttavia che potrebbero divertirvi lo stesso, anche se li conoscete, se
non altro perché è sempre interessante cercare eventuali altri metodi
risolutivi e comunque non portano via tanto tempo.
ZERO
Trovare il valore di questa terribilissima somma:
$\frac {1}{2}+\(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\)+\(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}\)+\,...\,+\(\frac{1}{1001}+\frac{2}{1001}+\frac{3}{1001}+ \,...\, +\frac{1000}{1001}\)\;\;$
I quesiti che seguono hanno varie provenienze (Hugo Steinhaus, Olimpiadi
della matematica etc.) e forse li conoscete già.
Penso tuttavia che potrebbero divertirvi lo stesso, anche se li conoscete, se
non altro perché è sempre interessante cercare eventuali altri metodi
risolutivi e comunque non portano via tanto tempo.
ZERO
Trovare il valore di questa terribilissima somma:
$\frac {1}{2}+\(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\)+\(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}\)+\,...\,+\(\frac{1}{1001}+\frac{2}{1001}+\frac{3}{1001}+ \,...\, +\frac{1000}{1001}\)\;\;$
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
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sospension d'un momento;
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{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Uno
UNO
Dimostrare che, per ogni terna naturale (a,b,c), il numero
$5^{\script 5a+1}+4^{\script 5b+2}+3^{\script 5c}$
è divisibile per 11.
Dimostrare che, per ogni terna naturale (a,b,c), il numero
$5^{\script 5a+1}+4^{\script 5b+2}+3^{\script 5c}$
è divisibile per 11.
Ultima modifica di Bruno il mer giu 14, 2006 6:54 pm, modificato 2 volte in totale.
(Bruno)
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Due
DUE
Dimostrare, senza servirsi della trigonometria, che in un triangolo
con un angolo di 60° l'area A è data dalla formula:
$A =\[a^{\script 2}-\(b-c\)^{\script 2}\]\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\,,$
essendo a, b e c i lati e a opposto all'angolo dato.
Se l'angolo dato è invece di 120°, l'area diventa:
$A =\[a^{\script 2}-\(b-c\)^{\script 2}\]\cdot \frac{\sqrt{3}}{12}\,.$
Dimostrare, senza servirsi della trigonometria, che in un triangolo
con un angolo di 60° l'area A è data dalla formula:
$A =\[a^{\script 2}-\(b-c\)^{\script 2}\]\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\,,$
essendo a, b e c i lati e a opposto all'angolo dato.
Se l'angolo dato è invece di 120°, l'area diventa:
$A =\[a^{\script 2}-\(b-c\)^{\script 2}\]\cdot \frac{\sqrt{3}}{12}\,.$
(Bruno)
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Tre
TRE
Dimostrare che non esistono numeri interi a, b e c tali che:
$a^{\script 2}+b^{\script 2}-8\cdot c = 6\,.$
Dimostrare che non esistono numeri interi a, b e c tali che:
$a^{\script 2}+b^{\script 2}-8\cdot c = 6\,.$
(Bruno)
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Quattro
QUATTRO
Dimostrare che il numero
$3^{\script 105}+4^{\script 105}$
non è divisibile per 5 e nemmeno per 11.
Quanti divisori minori di 400 riuscite a trovare?
Dimostrare che il numero
$3^{\script 105}+4^{\script 105}$
non è divisibile per 5 e nemmeno per 11.
Quanti divisori minori di 400 riuscite a trovare?
(Bruno)
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Cinque
CINQUE
In questo disegno (*)
sono stati rappresentati due triangoli isosceli:
ABC con base BC e DAC con base AC.
Dobbiamo dimostrare (se ci va) che AB=BC+CD.
(*) proveniente dal sito Progetto Olimpiadi della Matematica
In questo disegno (*)
sono stati rappresentati due triangoli isosceli:
ABC con base BC e DAC con base AC.
Dobbiamo dimostrare (se ci va) che AB=BC+CD.
(*) proveniente dal sito Progetto Olimpiadi della Matematica
(Bruno)
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{Rudi Mathematici}
ZERO
sono mille pezzi
il primo vale 1/2
i successivi si incrementano di mezzo a colpo
il buon vecchio Gauss avrebbe qualcosa da dire....
se faccio bene i conti, il millesimo termine vale 500
sommando il primo e l'ultimo, facciamo 500,5
anche il secondo + il penultimo fanno 500,5
e così per cinquecento coppie
per un totale, a occhio, di 2.502.500
sono mille pezzi
il primo vale 1/2
i successivi si incrementano di mezzo a colpo
il buon vecchio Gauss avrebbe qualcosa da dire....
se faccio bene i conti, il millesimo termine vale 500
sommando il primo e l'ultimo, facciamo 500,5
anche il secondo + il penultimo fanno 500,5
e così per cinquecento coppie
per un totale, a occhio, di 2.502.500
Enrico
-
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- Iscritto il: mer apr 20, 2005 3:47 pm
- Località: Benevento
Ciao Bruno,
anzitutto ti ringrazio per i quiz proposti.
Vado col QUATTRO:
Considero i due termini della somma separatamente; si ha:
$3^{105}=(27)^{5\cdot7}\equiv 2^{5\cdot7}\,(mod\,5)\equiv 2^7\, (mod\,5)\equiv 3\, (mod 5)$
$4^{105}\equiv (-1)^{105}\,(mod\,5)\equiv -1 \,(mod\,5)\equiv 4 \,(mod\,5)$
per cui
$3^{105}+4^{105}\equiv 3+4\,(mod\,5)\equiv2\,(mod\,5)$
Quindi la somma in questione non è divisibile per 5.
Per la non divisibilità per 11, essendo 11 un numero primo ed essendo sia 3 che 4 coprimi con 11, ossia $MCD(3,11)=1$ e $MCD(4,11)=1$, possiamo applicare il piccolo teorema di Fermat; si ha:
$3^{11}\equiv 3\, (mod\, 11)$ e $4^{11}\equiv 4\, (mod\, 11)$
scomponendo i due addendi della somma ed applicando queste congruenze, si ottiene:
$3^{105}=3^{99}\cdot3^6=(3^{11})^9\cdot3^6\equiv 3^9\cdot3^6\,(mod\,11)=3^{15}=3^{11}\cdot3^4\equiv 3\cdot3^4\,(mod\,11)\equiv 3\cdot4\,(mod\,11)\equiv 1\,(mod\,11)$
e
$4^{105}=4^{99}\cdot4^6=(4^{11})^9\cdot4^6\equiv 4^9\cdot4^6\,(mod\,11)=4^{15}=4^{11}\cdot4^4\equiv 4\cdot4^4\,(mod\,11)=\\= 4\cdot2^4^2\equiv 4\cdot5^2\,(mod\,11)\equiv 4\cdot3\,(mod\,11)\equiv 1\,(mod\,11)$
Quindi
$3^{105}+4^{105}\equiv 1+1\,(mod\,11)\equiv2\,(mod\,11)$
Ma qualcosa mi dice che c'è un procedimento più veloce...
Quanto ai divisori ho trovato che è divisibile per 7; con analogo procedimento utilizzato per la div. per 11, si ha:
$3^7\equiv 3 \,(mod\,7)$ e $4^7\equiv 4 \,(mod\,7)$
$3^{105}=3^7^{15}\equiv 3^{15}\,(mod\,7)=3^7^2\cdot3\equiv 3^2\cdot3\,(mod\,7)\equiv 6\,(mod\,7)$
con le stesse semplificazioni per $4^{105}$ si giunge a:
$4^{105}\equiv 4^2\cdot4\,(mod\,7)\equiv 1\,(mod\,7)$
Quindi $3^{105}+4^{105}\equiv 6+1\,(mod\,7)\equiv0\,(mod\,7)$
Admin
anzitutto ti ringrazio per i quiz proposti.
Vado col QUATTRO:
Considero i due termini della somma separatamente; si ha:
$3^{105}=(27)^{5\cdot7}\equiv 2^{5\cdot7}\,(mod\,5)\equiv 2^7\, (mod\,5)\equiv 3\, (mod 5)$
$4^{105}\equiv (-1)^{105}\,(mod\,5)\equiv -1 \,(mod\,5)\equiv 4 \,(mod\,5)$
per cui
$3^{105}+4^{105}\equiv 3+4\,(mod\,5)\equiv2\,(mod\,5)$
Quindi la somma in questione non è divisibile per 5.
Per la non divisibilità per 11, essendo 11 un numero primo ed essendo sia 3 che 4 coprimi con 11, ossia $MCD(3,11)=1$ e $MCD(4,11)=1$, possiamo applicare il piccolo teorema di Fermat; si ha:
$3^{11}\equiv 3\, (mod\, 11)$ e $4^{11}\equiv 4\, (mod\, 11)$
scomponendo i due addendi della somma ed applicando queste congruenze, si ottiene:
$3^{105}=3^{99}\cdot3^6=(3^{11})^9\cdot3^6\equiv 3^9\cdot3^6\,(mod\,11)=3^{15}=3^{11}\cdot3^4\equiv 3\cdot3^4\,(mod\,11)\equiv 3\cdot4\,(mod\,11)\equiv 1\,(mod\,11)$
e
$4^{105}=4^{99}\cdot4^6=(4^{11})^9\cdot4^6\equiv 4^9\cdot4^6\,(mod\,11)=4^{15}=4^{11}\cdot4^4\equiv 4\cdot4^4\,(mod\,11)=\\= 4\cdot2^4^2\equiv 4\cdot5^2\,(mod\,11)\equiv 4\cdot3\,(mod\,11)\equiv 1\,(mod\,11)$
Quindi
$3^{105}+4^{105}\equiv 1+1\,(mod\,11)\equiv2\,(mod\,11)$
Ma qualcosa mi dice che c'è un procedimento più veloce...
Quanto ai divisori ho trovato che è divisibile per 7; con analogo procedimento utilizzato per la div. per 11, si ha:
$3^7\equiv 3 \,(mod\,7)$ e $4^7\equiv 4 \,(mod\,7)$
$3^{105}=3^7^{15}\equiv 3^{15}\,(mod\,7)=3^7^2\cdot3\equiv 3^2\cdot3\,(mod\,7)\equiv 6\,(mod\,7)$
con le stesse semplificazioni per $4^{105}$ si giunge a:
$4^{105}\equiv 4^2\cdot4\,(mod\,7)\equiv 1\,(mod\,7)$
Quindi $3^{105}+4^{105}\equiv 6+1\,(mod\,7)\equiv0\,(mod\,7)$
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net
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ZERO
l' n-esimo termine della somma vale:
$\frac{1+2+3+\cdot\cdot\cdot+n}{n+1} = \frac{\frac{n\cdot(n+1)}{2}}{n+1} =\frac n 2$
l'ultimo termine della somma è il millesimo;
quindi la somma vale:
$\sum_{n=1}^{1000} \frac n 2 \quad=\quad \frac12\cdot(1+2+3+\cdot\cdot\cdot+1000)=250250$
Admin
l' n-esimo termine della somma vale:
$\frac{1+2+3+\cdot\cdot\cdot+n}{n+1} = \frac{\frac{n\cdot(n+1)}{2}}{n+1} =\frac n 2$
l'ultimo termine della somma è il millesimo;
quindi la somma vale:
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UNO
Scomponiamo la somma in:
$5^{5a}\cdot5+4^{5b}\cdot4^2+3^{5c}$
si nota che:
$5^{5a}=(5^3\cdot5^2)^a\equiv (4\cdot3)^a\,(mod\,11)\equiv 1^a\, (mod\,11)\equiv 1\, (mod\,11)$
$4^{5b}=(4^3\cdot4^2)^a\equiv (-2\cdot5)^a\,(mod\,11)\equiv 1^a\, (mod\,11)\equiv 1\, (mod\,11)$
$3^{5b}=(3^3\cdot3^2)^a\equiv (5\cdot-2)^a\,(mod\,11)\equiv 1^a\, (mod\,11)\equiv 1\, (mod\,11)$
quindi
$5^{5a}\cdot5+4^{5b}\cdot4^2+3^{5c}\equiv 1\cdot5+1\cdot16+1\,(mod\,11)=22\equiv 0\,(mod\,11)$
Admin
Scomponiamo la somma in:
$5^{5a}\cdot5+4^{5b}\cdot4^2+3^{5c}$
si nota che:
$5^{5a}=(5^3\cdot5^2)^a\equiv (4\cdot3)^a\,(mod\,11)\equiv 1^a\, (mod\,11)\equiv 1\, (mod\,11)$
$4^{5b}=(4^3\cdot4^2)^a\equiv (-2\cdot5)^a\,(mod\,11)\equiv 1^a\, (mod\,11)\equiv 1\, (mod\,11)$
$3^{5b}=(3^3\cdot3^2)^a\equiv (5\cdot-2)^a\,(mod\,11)\equiv 1^a\, (mod\,11)\equiv 1\, (mod\,11)$
quindi
$5^{5a}\cdot5+4^{5b}\cdot4^2+3^{5c}\equiv 1\cdot5+1\cdot16+1\,(mod\,11)=22\equiv 0\,(mod\,11)$
Admin
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Faccio il TRE
Scriviamo cosi' l'eguaglianza:
$a^2+b^2=2(4c+3)$
da cui si vede che ,essendo il 2° membro pari,a e b devono
avere la medesima parita'.
1° caso : a ,b entrambi pari.
Poniamo allora a=2h,b=2k e si ha:
$4(h^2+k^2)=2(4c+3)$ oppure $2(h^2+k^2)=4c+3$
e questa eguaglianza e' impossibile per valori interi in quanto
i due membri hanno parita' diversa.
2° caso: a,b entrambi dispari.
Poniamo ora a=2h+1,b=2k+1 e si ha:
$4h^2+4h+1+4k^2+4k+1=2(4c+3)$ ,ovvero:
$h(h+1)+k(k+1)=2c+1$
Anche in questo caso l'eguaglianza e' impossibile per valori interi
in quanto il primo membro e' pari (il prodotto di due interi consecutivi
e' pari) mentre il 2° e' ovviamente dispari.
leandro
Scriviamo cosi' l'eguaglianza:
$a^2+b^2=2(4c+3)$
da cui si vede che ,essendo il 2° membro pari,a e b devono
avere la medesima parita'.
1° caso : a ,b entrambi pari.
Poniamo allora a=2h,b=2k e si ha:
$4(h^2+k^2)=2(4c+3)$ oppure $2(h^2+k^2)=4c+3$
e questa eguaglianza e' impossibile per valori interi in quanto
i due membri hanno parita' diversa.
2° caso: a,b entrambi dispari.
Poniamo ora a=2h+1,b=2k+1 e si ha:
$4h^2+4h+1+4k^2+4k+1=2(4c+3)$ ,ovvero:
$h(h+1)+k(k+1)=2c+1$
Anche in questo caso l'eguaglianza e' impossibile per valori interi
in quanto il primo membro e' pari (il prodotto di due interi consecutivi
e' pari) mentre il 2° e' ovviamente dispari.
leandro
Si prolunghi AD fino ad intersecare BC in E e su CE si prenda D'
tale che risulti CD=CD'.In tal modo il triangolo CDD' risulta equilatero.
Facendo un po' di calcolo sugli angoli (lascio a voi la verifica altrimenti
dovrei scrivere un "papiello") si trova la situazione descritta in figura.
Si ha allora:
AB=BD'=BC+CD'=BC+CD
c.v.d.
Leandro.
P.S.
Ho cercato su Oliforum ( che talvolta frequento) il presente quesito,
senza pero' trovarlo.Pertanto quanto precede e' pura farina del ...mio sacco!
...
Bravo Enrico: al di là della virgola, hai centrato il problemino e
anche agilmente
Ottimo anche a Pietro!
Resta da completare la parte dei divisori del punto QUATTRO
(se ne posson trovare diversi).
Riguardo alla tua sensazione:
neppure usato esplicitamente le congruenze), ma adesso che
la riguardo mi viene un sospetto e per fortuna verifico che è
fondato:
$3^{\script 5}=243=11\cdot 22+1 \\ 4^{\script 5}=1024=11\cdot 93+1 \, ,$
cioè:
$\{ {3^{\script 5}\equiv 1 \\ 4^{\script 5}\equiv 1} \; (mod \, 11) \;\to^{\small \forall h,k\in N} \;\{ {3^{\script 5h}\equiv 1 \\ 4^{\script 5k}\equiv 1} \; (mod \, 11)\; \to \; 3^{\script 5h}+4^{\script 5k}\equiv 2 \; (mod \, 11).$
L'indivisibilità per 11, quindi, è più generale.
Ragionando con mod 10, ho visto che è così anche quella
per 5 (si può infatti estendere a ogni potenza di 3 e 4 con
esponente dispari).
Bravo Enrico: al di là della virgola, hai centrato il problemino e
anche agilmente
Ottimo anche a Pietro!
Resta da completare la parte dei divisori del punto QUATTRO
(se ne posson trovare diversi).
Riguardo alla tua sensazione:
non ricordo bene come ho trattato la questione (forse non hoMa qualcosa mi dice che c'è un procedimento più veloce...
neppure usato esplicitamente le congruenze), ma adesso che
la riguardo mi viene un sospetto e per fortuna verifico che è
fondato:
$3^{\script 5}=243=11\cdot 22+1 \\ 4^{\script 5}=1024=11\cdot 93+1 \, ,$
cioè:
$\{ {3^{\script 5}\equiv 1 \\ 4^{\script 5}\equiv 1} \; (mod \, 11) \;\to^{\small \forall h,k\in N} \;\{ {3^{\script 5h}\equiv 1 \\ 4^{\script 5k}\equiv 1} \; (mod \, 11)\; \to \; 3^{\script 5h}+4^{\script 5k}\equiv 2 \; (mod \, 11).$
L'indivisibilità per 11, quindi, è più generale.
Ragionando con mod 10, ho visto che è così anche quella
per 5 (si può infatti estendere a ogni potenza di 3 e 4 con
esponente dispari).
(Bruno)
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Nessunissimo dubbio, carissimo LeandroLeandro ha scritto: (...) quanto precede e' pura farina del ...mio sacco!
A tutti noi, credo, non piace rispondere ricopiando le soluzioni altrui,
anche se questo non significa che i nostri metodi siano inediti (di
sicuro, non i miei...).
Anche a me, sai, è capitato di ragionare più o meno come te e ciò mi
ha fatto sentire un pochino... bravo
A qualcuno viene un'altra idea?
Ottimo Leandro anche per il TERZO!
__________________________________________________________________
PS - Il problema geometrico è stato presentato a un'olimpiade o a una gara di
matematica (ma non ricordo più quale).
(Bruno)
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