3x7

[delfo52]

3x7 NON fa 21
Almeno non lo fa negli ingranaggi della mia mountain-bike

Ne avevo sempre avuto il sospetto, ma la pigrizia mi aveva sempre fatto soprassedere dall'incombenza di contare i denti delle ruote che formano il "cambio" della bici.
Ricordo la mia prima bici col cambio: una semisconosciuta "CERIZ" con tre misere ruotine dentate posteriori e una sola moltiplica fissa anteriore. Ben poca cosa, rispetto alla ATALA di mio fratello maggiore, dotata di doppia moltiplica e quattro rapporti posteriori. Nel mio caso 1x3 faceva proprio 3. Mio fratello poteva fregiarsi di un ricco 2x4, ma di fatto le "marce" possibili erano in realtà 6. Se ricordo bene le misure erano 40/48 davanti e 21/23/25/28 dietro.
Non molto diversa fu la situazione quando passai ad una sgargiante LEGNANO giallolimone con un Campagnolo 2x5.

E poi...venne l'era delle Mountain -bike e dei cambi Shimano, sempre più ricchi, ma davvero tanto più ricchi?

Oggi ho deciso di guardare "sotto il cofano" della mia bici da fuoristrada 3x7. Per uno pigro come me, uno sforzo inaudito; e meno male che le bici non hanno il cofano....

Ho perciò scoperto che le tre moltipliche sorridono a 24/34/42 denti, mentre i rocchetti posteriori presentano 14/16/18/20/22/24/28 denti.
Se assumiamo per comodità una circonferenza della ruota pari a 2metri (in realtà sono circa 209 cm), significa che lo sviluppo di ogni pedalata può variare tra 171 e 600 centimetri.
Ma i valori intermedi, come si distribuiscono?
A questo punto bisogna inserire il dato biomeccanico-fisiologico per cui lo sforzo soggettivo si incrementa in maniera proporzionale e non assoluta. Intendo dire che mentre un allungamento di 20 cm a pedalata ha senso nei rapporti "agili", quando rappresenta circa il 10%, gli stessi 20 cm tra 4metri e mezzo e 4e70 hanno molto meno senso.

La distribuzione ottimale sarebbe pertanto quella che in venti successivi incrementi percentualmente equivalenti vada da 171 a 600.
C'è qualche esperto di matematica bancaria in ascolto?

Stabiliti il minimo e il massimo, si potrebbe trovare una combinazione di ruotaggi tale da distribuire meglio i "rapporti" ?

Nella mia bici di oggi, se prendiamo in considerazione solo gli incrementi superiori al 10%, le "marce" effettive non sono 21, ma solo 12.
Con l'aggravante che, come ovvio peraltro, i rapporti si affollano nella zona di mezzo, e presentano scarti molto più ampi agli estremi, dove forse sarebbe più utile una maggior gradualità.

P.S. chiedo in anticipo scusa a chi (tra i basecinquini, statisticamente ce ne devono essere almeno una mezza dozzina) è espertissimo di tutto ciò che ha a che fare con il ciclismo.

[Pasquale]

Io ricordo solo che non bisogna usare ingranaggi estremi con estremi opposti, se non si vuole che scappi via la catena (almeno una volta si suggeriva così).

[panurgo]

A questo punto bisogna inserire il dato biomeccanico-fisiologico per cui lo sforzo soggettivo si incrementa in maniera proporzionale e non assoluta. Intendo dire che mentre un allungamento di 20 cm a pedalata ha senso nei rapporti "agili", quando rappresenta circa il 10%, gli stessi 20 cm tra 4metri e mezzo e 4e70 hanno molto meno senso.

Proviamo a partire dal fatto che una marcia dovrebbe aumentare il rapporto almeno del 10%: considerando in primis i ruotini con una ruota anteriore fissa (p.e. 42) abbiamo

${\bf r} = \left\{ {\frac{{42}}{{14}},\frac{{42}}{{16}},\frac{{42}}{{18}},\frac{{42}}{{20}},\frac{{42}}{{22}},\frac{{42}}{{24}},\frac{{42}}{{28}}} \right\}$

e vogliamo che

$\frac {r_{\script i + 1}}{r_{\script i}} = \alpha \quad \left (\alpha \approx 90% \right )$

ne consegue che

$\prod\limits_{\script i = 1}^{\script n - 1} {\frac{{r_{\script i + 1} }}{{r_{\script i} }}} = \frac{{r_{\script n} }}{{r_{\script 1} }} = \alpha ^{\script n - 1}$

Questa equazione lega $n$ e $\alpha$ fissati i rapporti minimo e massimo: quelli della bici di Delfo52 vanno da $\frac {24}{28} \approx 0,857$ a $\frac {42}{14} = 3$ (una parentesi: un rapporto di $3$ significa che la ruota della bici fa tre giri per ogni giro del pedale e tocca a Delfo52 dirci qual è il limite fisiologico al rapporto massimo)

Se consideriamo solo la moltiplica da 42 denti il rapporto minimo è $\frac{42} {28} = \frac 32$: ponendo $\alpha = 90%$ si ha $n = 6,578\ldots$: approssimando, $n = 7$ implica $\alpha \approx 89%$.

Ora vogliamo trovare i valori di $r_{\script i}$ che soddisfano le condizioni richieste

$r_{\script i} = 3 \alpha^{\script 1-i}$

ovvero

${\bf r} \approx \left\{ {3,\;{\rm 2}{\rm ,67},\;{\rm 2}{\rm ,38},\;{\rm 2}{\rm ,12},\;{\rm 1}{\rm ,89},\;{\rm 1}{\rm ,68},\;{\rm 1}{\rm ,5}} \right\} \approx \left\{ {\frac{{42}}{{14}},\;\frac{{42}}{{16}},\;\frac{{42}}{{18}},\;\frac{{42}}{{20}},\;\frac{{42}}{{22}},\;\frac{{42}}{{25}},\;\frac{{42}}{{28}}} \right\}$

Tutti i ruotini coincidono tranne il sesto (24 - 25) e sembrerebbe che il criterio del 10% sia quello seguito.

Se consideriamo tutte le moltipliche, ponendo $\alpha = 90%$ si ha $n = 12,89\ldots$ e quindi ha senso un massimo di 13 rapporti. I seguenti rapporti hanno valori non troppo diversi da quelli previsti teoricamente

${\bf r} = \left\{ {\frac{{42}}{{14}},\;\frac{{42}}{{16}},\;\frac{{34}}{{14}},\;\frac{{34}}{{16}},\;\frac{{42}}{{22}},\;\frac{{42}}{{24}},\;\frac{{34}}{{22}},\;\frac{{34}}{{24}},\;\frac{{24}}{{18}},\;\frac{{24}}{{20}},\;\frac{{24}}{{22}},\;\frac{{24}}{{24}},\;\frac{{24}}{{28}}} \right\}$

La peggiore approssimazione la dà il penultimo rapporto: $1$ al posto di $0,95$.



Ovviamente, bastano due moltipliche anteriori ma ciò implica che la moltiplica e il ruotino siano cambiati simultaneamente per passare dalla più alta delle marce basse alla più bassa delle marce alte...

P.S.: caro Del, sei sicuro che il sesto ruotino abbia 24 denti e non 25...

[Pasquale]

Che draghi! Mandrake è niente!

[delfo52]

ho controllato: sono 24.
Così tutti i valori sono numeri pari !

Mi chiedo se, modificando i numeri, sia possibile ottenere una distribuzione più "spalmata".
In particolare, oltre al salto un po' troppo grosso tra il penultimo e l'ultimo (per cui sarebbe utile un "25"), è poco pratico specialmente il salto tra il primo e il secondo: anche qui ben oltre il 10%.
E quando si usano i rapporti "duri", la gradualità è molto utile, quando si cerca di matenere la velocità in pianura. Il salto da 1 a 0,85 può forse essere giustificato dal fatto che, ipotizzando una salita ripida e uno sforzo vicino al limite, avere un "gradino" di alleggerimento importante, può essere utile per non restare "impiccati".

Comunque, andare in bicicletta in salita è una imteressante lezione di fisica. Si capisce bene che il "lavoro" è correlato all'innalzamento del baricentro !
Meno chiaro a questo punto è perchè si faccia fatica anche in pianura !