Vedo che il problema sul sistema e' piaciuto e pertanto ve ne propongo
un altro sempre di algebra elementare.
Si consideri il polinomio P(x) di 5° grado tale che risulti:
$(x-1)^3|(P(x)+1)$
$(x+1)^3|(P(x)-1)$
Senza far uso del Calcolo (leggi :derivate) si risolvano i quesiti :
1)Si dimostri che P(x) e' funzione dispari di x
2)Si calcoli l'effettiva espressione di P(x)
Saluti a tutti.
Leandro
Un problema sui polinomi
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Ospite
Complimenti ad Elena per aver risolto il quesito.
In questo modo io non c'ero arrivato
(anche perche' un sistema di dieci equazioni e' troppo per me).
La soluzione (solo in parte mia!!) che propongo recita al modo seguente.
Indicando con H(x) e K(x) due polinomi di 2° grado,poniamo:
(a) $P(x)=(x-1)^3H(x)-1$
(b) $P(x)=(x+1)^3K(x)+1$
Cambiando in (a) ed in (b) x con -x si ha:
(c) $P(-x)=-(x+1)^3H(-x)-1$
(d) $P(-x)=-(x-1)^3K(-x)+1$
Sommando (a) con (d) e (b) con (c) ,otteniamo:
$P(x)+P(-x)=(x-1)^3[H(x)-K(-x)]$
$P(x)+P(-x)=(x+1)^3[K(x)-H(-x)]$
Da qui' si vede che P(x)+P(-x) e' divisibile sia per (x-1)^3 che per (x+1)^3
Essendo P(x)+P(-x) un polinomio di 5° grado ,cio' e' possibile
solo se P(x)+P(-x) e' identicamente nullo
e quindi risulta P(x)=-P(-x) per ogni x ,come volevasi dimostrare.
A questo punto si puo' porre (nella (a),ad esempio):
$P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)-1$
ed imporre che il polinomio a secondo membro abbia nulli i coefficienti
delle potenze pari di x (incluso il termine noto) per avere un sistema di sole
3 equazioni in a,b e c.Il risultato e' quello gia' indicato da Elena.
Ciao.
Leandro
In questo modo io non c'ero arrivato
(anche perche' un sistema di dieci equazioni e' troppo per me).
La soluzione (solo in parte mia!!) che propongo recita al modo seguente.
Indicando con H(x) e K(x) due polinomi di 2° grado,poniamo:
(a) $P(x)=(x-1)^3H(x)-1$
(b) $P(x)=(x+1)^3K(x)+1$
Cambiando in (a) ed in (b) x con -x si ha:
(c) $P(-x)=-(x+1)^3H(-x)-1$
(d) $P(-x)=-(x-1)^3K(-x)+1$
Sommando (a) con (d) e (b) con (c) ,otteniamo:
$P(x)+P(-x)=(x-1)^3[H(x)-K(-x)]$
$P(x)+P(-x)=(x+1)^3[K(x)-H(-x)]$
Da qui' si vede che P(x)+P(-x) e' divisibile sia per (x-1)^3 che per (x+1)^3
Essendo P(x)+P(-x) un polinomio di 5° grado ,cio' e' possibile
solo se P(x)+P(-x) e' identicamente nullo
e quindi risulta P(x)=-P(-x) per ogni x ,come volevasi dimostrare.
A questo punto si puo' porre (nella (a),ad esempio):
$P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)-1$
ed imporre che il polinomio a secondo membro abbia nulli i coefficienti
delle potenze pari di x (incluso il termine noto) per avere un sistema di sole
3 equazioni in a,b e c.Il risultato e' quello gia' indicato da Elena.
Ciao.
Leandro