Simmetrie colorate

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giobimbo
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Simmetrie colorate

Messaggio da giobimbo »

Dati 6 punti nel piano disposti come i vertici di un esagono regolare e l'insieme
I = {AB, BA, AC, CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, CD, DC}
assegnare a ogni punto un elemento dell'insieme I seguendo queste regole:
1) due punti diversi hanno elementi di I diversi;
2) se a un punto si assegna l'elemento XY allora l'elemento YX non può essere assegnato ad un altro punto.

Congiungendo con una retta i punti che hanno una lettera in comune otteniamo delle figure che hanno sempre 1, 2, 3 oppure 6 simmetrie. Adesso coloriamo le rette in questo modo:
a) se i due punti hanno in comune le lettere iniziali, oppure le lettere finali, coloriamo la loro congiungente di rosso;
b) se i due punti hanno in comune la lettera iniziale e quella finale, coloriamo la loro congiungente di nero.
Una figura è ora "simmetrica rispetto al colore" se possiede almeno una linea di simmetria tale che ogni coppia di rette simmetriche rispetto ad essa abbia lo stesso colore. La figura dell'esempio sotto ha una sola linea di simmetria verticale, per cui si nota subito che le rette AC-AB e BD-DA hanno colori diversi; lo stesso per le rette BD-BC e AC-CD, dunque non c'è simmetria di colore.

PROBLEMA: assegnare le coppie di lettere, cioè gli elementi di I, ai punti in modo da avere una figura simmetrica rispetto al colore.
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Messaggio da Admin »

Alcune delucidazioni...
giobimbo ha scritto:otteniamo delle figure che hanno sempre 1, 2, 3 oppure 6 simmetrie
che si intende in questo caso per simmetria?

per come intendo io, si può avere simmetria solo se la retta che fa da asse di simmetria passa per il centro dell'esagono, e quindi lo divide in due parti uguali;

se è così com'è possibile avere 6 simmetrie?

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Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Pietro, è giusto ciò che dici, ma se non vado errato, le rette di simmetria con le caratteristiche da te enunciate sono quelle su cui giacciono le 3 diagonali e le 3 coppie di apoteme relative a lati opposti.
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giobimbo
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Messaggio da giobimbo »

Anche per me si può avere simmetria solo se la retta che fa da asse di simmetria passa per il centro della figura (che non sempre è un esagono, vedi il mio esempio), e quindi la divide in due parti uguali. Dicendo che che una figura ha n simmetrie intendevo dire, in breve, che ci sono n modi diversi di tagliare tale figura in modo da ottenere due parti simmetriche ogni volta. Si tratta solo di un'osservazione mia, una cosa che avevo notato: se disturba cancellate quella dozzina di parole citate da Admin, non influiscono minimamente col problema da risolvere.

Se etichettiamo i 6 punti in questo modo:
DB-CD-BC-CA-AB-DA
si ottiene una figura con 6 simmetrie; trovato un asse di simmetria basta ruotarlo di 30 gradi altre cinque volte. No, usando i colori rosso e nero nessuna delle 6 simmetrie è una simmetria di colore... :wink:

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Messaggio da Admin »

Ciao giobimbo,
in effetti ciò che ti chiedo non serve ai fine del problema, tant'è che già da ieri ho fatto qualche prova;
semplicemente volevo sapere da dove venivano fuori le 6 simmetrie;
temevo di aver frainteso l'enunciato del problema;

Comunque le rette di simmetria possibili sono 3.

Ciao
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Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Riporto alcune soluzioni diverse (si intende che le coppie di lettere vanno assegnate di seguito ai 6 vertici, in senso orario o antiorario); hanno tutte una sola simmetria e il disegno si riferisce alla prima soluzione:

Immagine

BD DC CB AC DA AB
BD CB AC CD AD AB
BA DA DB DC AC BC
AC BA DB BC DC DA
DA BA CA BC DB DC
CD DA CA AB BD BC
CA BA BC DC DB DA
BC AB DB DA CA CD
CB BD CD DA AB AC
DA DC BC AC BA DB
DB DA CD BC AC BA
CD BD CB AB AD CA
DB AD AB CB AC DC
AC AB DB AD DC CB
DC CB AC BA DB AD
DB BC CD DA AC BA
CB DB DC AC AD AB
BD BA CA DA CD BC
AB DB DA DC BC AC
BD AB CA BC DC DA
DC BD AB DA AC CB
CA DA CD BC BD BA
CB BA DB DA CA DC
CD CA BA BC DB AD
AB AC CB CD AD DB
DB CB BA AD AC CD
CA AB BC BD AD DC
BC BA AC DA BD DC
DC AC AD AB CB DB
BC BA DA AC DC DB
AD AC BA BC DC BD
AC AB DB DA DC BC
DA AC CB DC DB AB
BA AC DA CD BC DB
AD CD DB BA BC CA
DB AD CD AC BA BC
BC BA CA CD AD BD
AB AC DA CD BC DB
CD BD BA CB AC DA
AB DA CD AC CB BD
AB AD CD DB CB CA
DA CA CB CD DB BA
BC CD DA BD BA CA
AD BA CB DB CD AC
BC BD AB AD CD AC
DC BC CA AD AB DB
DA DB CB DC CA AB
AB CA DA DB CD CB
CD DA AC CB BA DB
BD AD AB AC DC BC
DC DB AB CB CA DA
CD CB BD DA BA AC
AC AB DB CB CD AD
AC DC DB AD BA CB
DA DC CA AB CB DB
CA DC DA BA DB CB
AB BC DB AD DC CA
CD AC CB BA AD DB
CA AD AB DB DC BC
AD AC BC DC BD AB
DA AB DB DC CB CA
AC BA BC DB AD CD
CB CA AB AD CD DB
AB AC DC AD BD BC
BC CA AD AB BD DC
AB BD CB AC CD AD
DA DC BC DB BA AC
BD BC BA AC CD AD
AC DC DA BA BD CB
CD DB DA CA AB CB
BD CB DC AC AB DA
AB DB DC BC CA AD
DC DA CA BA BD BC
BD BA DA DC AC BC
CD BC DB AD BA AC
CA BA BD BC CD DA
CB BA AD DB CD AC
BC CD DA AC BA DB
CD CA BA DA DB CB
AD BA CB BD DC CA
BC BA DB DA CA DC
DB DC AD BA CA CB
CA CD CB AB DB DA
CA AD DB CD BC AB
DC AD CA BA BD CB
BC CD DA DB BA AC
BD BA BC CA AD CD
AC DC AD BD BC AB
BD CD BC AB AC AD
DB BC BA CA CD AD
AD CD CA BA BC BD
CA BA AD DB BC CD
BA AC DA BD DC BC
AC CD DA BD CB BA
CB AC DA AB BD DC
AC CD CB BD DA BA
DB AD CD CB AC AB
BA DB AD DC CB AC
CD DB AD CA AB CB
CD CA AD AB CB BD
CB DC AD BD BA CA
BC DB AD DC AC AB
DA DC BD AB CB CA
DC DB AB CB AC DA
CA BA AD DC DB CB
AC CB BD AB AD CD
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Messaggio da Admin »

X giobimbo

Adesso ho capito;
io per retta di simmetria intendevo proprio le linee che si venivano a formare dal congiungimento dei punti;
per cui avevo inteso: se non c'è linea non c'è simmetria;

invece, se ho capito bene, tu intendi gli assi immaginari di simmetria;
(in questo caso è chiaro che vi possono essere 6 simmetrie);

giuste allora le soluzioni di Pasquale.

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Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Si, gli assi li ho intesi così, considerando i vertici numerati, altrimenti potremmo limitarli a due, visto che l'esagono è regolare (una diagonale massima e l'asse di due lati opposti):

Immagine
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Messaggio da giobimbo »

Bravo Pasquale, la figura è quella, ma non era il caso di sobbarcarsi la faticaccia di scrivere tutte quelle sequenze; è ovvio che permutando le lettere o scambiando i colori, o ambedue le cose, si ottengono un gran numero di etichettature diverse per i 6 punti. Mi domando se con 10 punti e tutte le coppie distinte formate usando le lettere A, B, C, D, E, sia possibile ottenere una figura simmetrica per colore.

Giuste le considerazioni sulle simmetrie, difatti la figura della soluzione ha due simmetrie (ma una sola per colore), una con l'asse che passa per due vertici opposti e l'altra con l'asse che passa in mezzo a due lati opposti. I due assi sono perpendicolari.

Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Non ti preoccupare Giò, nessuna fatica: ho dato l'incarico a Db di provvedere in merito, il quale ha provveduto anche per i seguenti esempi relativi ai 10 punti:

EB DB DC EC DE AD BA CB CA EA
BC CE CD EA BA ED AC AD EB DB
ED CE BD BA AE AC DC CB EB DA
EA ED DC EC AD DB BE CA CB BA
ED CE CD DB BC AC AB BE EA DA
AB AE AD DC CA EC BE ED DB CB
DC DB EB AC EC AE DA DE BA BC
BA EA CB BE CD DE EC DA AC BD
BD ED AC BE DA CE AB CD EA BC
DB BA BE CA CD EA BC EC AD ED

Il disegnino si riferisce alla prima soluzione: Immagine
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Messaggio da giobimbo »

In effetti, usando una sorta di calcolo algebrico, tipo XY+YZ=ZX, quando ho posto la domanda avevo già trovato le lettere che mi davano una soluzione (diversa dalla tua), solo che da ogni punto partivano quattro linee nere e una rossa che mi davano una figura nera simmetrica e una rossa con simmetria rotazionale. Questo mi aveva sconcertato e indotto a porre la domanda.
Molto più tardi mi son reso conto che da ogni punto dovevano uscire sei linee, non cinque: aggiungendo le rosse mancanti tutto quadrava!

Sembra comunque che l'algebra non c'entri, ho elaborato un metodo semplice che mi dà l'unica soluzione con 3 punti, l'unica con 6 e le soluzioni con 10, mentre con 15 punti e le lettere A, B, C, D, E, F non esiste simmetria di colore. Esiste una simmetria di colore con 14 punti ma il punto mancante bisognerebbe metterlo all'interno o all'esterno del 14-gono regolare...

Pasquale, visto che usi il computer per trovare le soluzioni, mi puoi confermare che non ne esistono con 15 punti?

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Messaggio da Pasquale »

Giò, con 15 punti la scrittura del programma diventa pesante (almeno così come l'ho concepito in prima battuta) e i tempi di esecuzione si allungano (già lo erano con 10 punti), per cui non mi ci metto (c'è da perdere troppo tempo): però a lume di naso penso che le simmetrie dovrebbero esserci, perché c'è sempre la possibilità che fra due punti non ci sia alcuna linea, nè rossa, nè nera, il che porta a risparmiare combinazioni di lettere utili per le simmetrie.
Comunque, se mi ci metto a provare qualcosa, poi ti faccio sapere.

Per quanto riguarda le uniche soluzioni alle quali ti riferisci, intendi con linee tutte nere?
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Messaggio da Pasquale »

Dunque ho potuto constatare che le sequenze utili da testare, per decidere se esiste o meno la simmetria con 15 punti, stanno sull'ordine di $13\cdot 10^{14}$, per cui la cosa non è affrontabile col computer, come già detto precedentemente: ho comunque testato con esito negativo circa 200.000 sequenze a campione, che sono troppo poche rispetto al totale, per cui non saprei dire se la simmetria c'è, oppure no.
Non so se è possibile affrontare il problema in modo più semplice e diverso... non c'ho pensato proprio.
A questo punto, bisognerebbe dimostrare che non può esistere una simmetria: forse qualche cervellone che conosciamo ci riesce.
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Messaggio da giobimbo »

Pasquale ha scritto:Per quanto riguarda le uniche soluzioni alle quali ti riferisci, intendi con linee tutte nere?
Proprio così, la figura pura e semplice, senza lettere e senza colori.

Quando ci si imbatte nella cosiddetta "esplosione combinatoria" salta subito fuori l'inconveniente di usare la forza bruta nel trovare le soluzioni di un problema. Purtroppo col mio computer Decimal Basic non funziona quindi non posso neanche provare il tuo programma. Qui sotto riporto la soluzione con 14 punti, divisa in due figure per maggiore comprensione; manca il punto BE (oppure EB) che andrebbe messo sulla linea di simmetria, quella verde orizzontale. Tale linea, dovendo passare per due vertici del 15-gono, quando taglia il poligono lascia una parte con 6 punti e l'altra con 7.

Oops, vedo che, mentre scrivevo, Pasquale ha aggiunto qualcosa.
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Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Good Giò, sembrano diamanti.
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