Simmetrie colorate
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Simmetrie colorate
Dati 6 punti nel piano disposti come i vertici di un esagono regolare e l'insieme
I = {AB, BA, AC, CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, CD, DC}
assegnare a ogni punto un elemento dell'insieme I seguendo queste regole:
1) due punti diversi hanno elementi di I diversi;
2) se a un punto si assegna l'elemento XY allora l'elemento YX non può essere assegnato ad un altro punto.
Congiungendo con una retta i punti che hanno una lettera in comune otteniamo delle figure che hanno sempre 1, 2, 3 oppure 6 simmetrie. Adesso coloriamo le rette in questo modo:
a) se i due punti hanno in comune le lettere iniziali, oppure le lettere finali, coloriamo la loro congiungente di rosso;
b) se i due punti hanno in comune la lettera iniziale e quella finale, coloriamo la loro congiungente di nero.
Una figura è ora "simmetrica rispetto al colore" se possiede almeno una linea di simmetria tale che ogni coppia di rette simmetriche rispetto ad essa abbia lo stesso colore. La figura dell'esempio sotto ha una sola linea di simmetria verticale, per cui si nota subito che le rette AC-AB e BD-DA hanno colori diversi; lo stesso per le rette BD-BC e AC-CD, dunque non c'è simmetria di colore.
PROBLEMA: assegnare le coppie di lettere, cioè gli elementi di I, ai punti in modo da avere una figura simmetrica rispetto al colore.
I = {AB, BA, AC, CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, CD, DC}
assegnare a ogni punto un elemento dell'insieme I seguendo queste regole:
1) due punti diversi hanno elementi di I diversi;
2) se a un punto si assegna l'elemento XY allora l'elemento YX non può essere assegnato ad un altro punto.
Congiungendo con una retta i punti che hanno una lettera in comune otteniamo delle figure che hanno sempre 1, 2, 3 oppure 6 simmetrie. Adesso coloriamo le rette in questo modo:
a) se i due punti hanno in comune le lettere iniziali, oppure le lettere finali, coloriamo la loro congiungente di rosso;
b) se i due punti hanno in comune la lettera iniziale e quella finale, coloriamo la loro congiungente di nero.
Una figura è ora "simmetrica rispetto al colore" se possiede almeno una linea di simmetria tale che ogni coppia di rette simmetriche rispetto ad essa abbia lo stesso colore. La figura dell'esempio sotto ha una sola linea di simmetria verticale, per cui si nota subito che le rette AC-AB e BD-DA hanno colori diversi; lo stesso per le rette BD-BC e AC-CD, dunque non c'è simmetria di colore.
PROBLEMA: assegnare le coppie di lettere, cioè gli elementi di I, ai punti in modo da avere una figura simmetrica rispetto al colore.
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Alcune delucidazioni...
per come intendo io, si può avere simmetria solo se la retta che fa da asse di simmetria passa per il centro dell'esagono, e quindi lo divide in due parti uguali;
se è così com'è possibile avere 6 simmetrie?
Admin
che si intende in questo caso per simmetria?giobimbo ha scritto:otteniamo delle figure che hanno sempre 1, 2, 3 oppure 6 simmetrie
per come intendo io, si può avere simmetria solo se la retta che fa da asse di simmetria passa per il centro dell'esagono, e quindi lo divide in due parti uguali;
se è così com'è possibile avere 6 simmetrie?
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net
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Anche per me si può avere simmetria solo se la retta che fa da asse di simmetria passa per il centro della figura (che non sempre è un esagono, vedi il mio esempio), e quindi la divide in due parti uguali. Dicendo che che una figura ha n simmetrie intendevo dire, in breve, che ci sono n modi diversi di tagliare tale figura in modo da ottenere due parti simmetriche ogni volta. Si tratta solo di un'osservazione mia, una cosa che avevo notato: se disturba cancellate quella dozzina di parole citate da Admin, non influiscono minimamente col problema da risolvere.
Se etichettiamo i 6 punti in questo modo:
DB-CD-BC-CA-AB-DA
si ottiene una figura con 6 simmetrie; trovato un asse di simmetria basta ruotarlo di 30 gradi altre cinque volte. No, usando i colori rosso e nero nessuna delle 6 simmetrie è una simmetria di colore...
Se etichettiamo i 6 punti in questo modo:
DB-CD-BC-CA-AB-DA
si ottiene una figura con 6 simmetrie; trovato un asse di simmetria basta ruotarlo di 30 gradi altre cinque volte. No, usando i colori rosso e nero nessuna delle 6 simmetrie è una simmetria di colore...
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Ciao giobimbo,
in effetti ciò che ti chiedo non serve ai fine del problema, tant'è che già da ieri ho fatto qualche prova;
semplicemente volevo sapere da dove venivano fuori le 6 simmetrie;
temevo di aver frainteso l'enunciato del problema;
Comunque le rette di simmetria possibili sono 3.
Ciao
Admin
in effetti ciò che ti chiedo non serve ai fine del problema, tant'è che già da ieri ho fatto qualche prova;
semplicemente volevo sapere da dove venivano fuori le 6 simmetrie;
temevo di aver frainteso l'enunciato del problema;
Comunque le rette di simmetria possibili sono 3.
Ciao
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
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Riporto alcune soluzioni diverse (si intende che le coppie di lettere vanno assegnate di seguito ai 6 vertici, in senso orario o antiorario); hanno tutte una sola simmetria e il disegno si riferisce alla prima soluzione:
BD DC CB AC DA AB
BD CB AC CD AD AB
BA DA DB DC AC BC
AC BA DB BC DC DA
DA BA CA BC DB DC
CD DA CA AB BD BC
CA BA BC DC DB DA
BC AB DB DA CA CD
CB BD CD DA AB AC
DA DC BC AC BA DB
DB DA CD BC AC BA
CD BD CB AB AD CA
DB AD AB CB AC DC
AC AB DB AD DC CB
DC CB AC BA DB AD
DB BC CD DA AC BA
CB DB DC AC AD AB
BD BA CA DA CD BC
AB DB DA DC BC AC
BD AB CA BC DC DA
DC BD AB DA AC CB
CA DA CD BC BD BA
CB BA DB DA CA DC
CD CA BA BC DB AD
AB AC CB CD AD DB
DB CB BA AD AC CD
CA AB BC BD AD DC
BC BA AC DA BD DC
DC AC AD AB CB DB
BC BA DA AC DC DB
AD AC BA BC DC BD
AC AB DB DA DC BC
DA AC CB DC DB AB
BA AC DA CD BC DB
AD CD DB BA BC CA
DB AD CD AC BA BC
BC BA CA CD AD BD
AB AC DA CD BC DB
CD BD BA CB AC DA
AB DA CD AC CB BD
AB AD CD DB CB CA
DA CA CB CD DB BA
BC CD DA BD BA CA
AD BA CB DB CD AC
BC BD AB AD CD AC
DC BC CA AD AB DB
DA DB CB DC CA AB
AB CA DA DB CD CB
CD DA AC CB BA DB
BD AD AB AC DC BC
DC DB AB CB CA DA
CD CB BD DA BA AC
AC AB DB CB CD AD
AC DC DB AD BA CB
DA DC CA AB CB DB
CA DC DA BA DB CB
AB BC DB AD DC CA
CD AC CB BA AD DB
CA AD AB DB DC BC
AD AC BC DC BD AB
DA AB DB DC CB CA
AC BA BC DB AD CD
CB CA AB AD CD DB
AB AC DC AD BD BC
BC CA AD AB BD DC
AB BD CB AC CD AD
DA DC BC DB BA AC
BD BC BA AC CD AD
AC DC DA BA BD CB
CD DB DA CA AB CB
BD CB DC AC AB DA
AB DB DC BC CA AD
DC DA CA BA BD BC
BD BA DA DC AC BC
CD BC DB AD BA AC
CA BA BD BC CD DA
CB BA AD DB CD AC
BC CD DA AC BA DB
CD CA BA DA DB CB
AD BA CB BD DC CA
BC BA DB DA CA DC
DB DC AD BA CA CB
CA CD CB AB DB DA
CA AD DB CD BC AB
DC AD CA BA BD CB
BC CD DA DB BA AC
BD BA BC CA AD CD
AC DC AD BD BC AB
BD CD BC AB AC AD
DB BC BA CA CD AD
AD CD CA BA BC BD
CA BA AD DB BC CD
BA AC DA BD DC BC
AC CD DA BD CB BA
CB AC DA AB BD DC
AC CD CB BD DA BA
DB AD CD CB AC AB
BA DB AD DC CB AC
CD DB AD CA AB CB
CD CA AD AB CB BD
CB DC AD BD BA CA
BC DB AD DC AC AB
DA DC BD AB CB CA
DC DB AB CB AC DA
CA BA AD DC DB CB
AC CB BD AB AD CD
BD DC CB AC DA AB
BD CB AC CD AD AB
BA DA DB DC AC BC
AC BA DB BC DC DA
DA BA CA BC DB DC
CD DA CA AB BD BC
CA BA BC DC DB DA
BC AB DB DA CA CD
CB BD CD DA AB AC
DA DC BC AC BA DB
DB DA CD BC AC BA
CD BD CB AB AD CA
DB AD AB CB AC DC
AC AB DB AD DC CB
DC CB AC BA DB AD
DB BC CD DA AC BA
CB DB DC AC AD AB
BD BA CA DA CD BC
AB DB DA DC BC AC
BD AB CA BC DC DA
DC BD AB DA AC CB
CA DA CD BC BD BA
CB BA DB DA CA DC
CD CA BA BC DB AD
AB AC CB CD AD DB
DB CB BA AD AC CD
CA AB BC BD AD DC
BC BA AC DA BD DC
DC AC AD AB CB DB
BC BA DA AC DC DB
AD AC BA BC DC BD
AC AB DB DA DC BC
DA AC CB DC DB AB
BA AC DA CD BC DB
AD CD DB BA BC CA
DB AD CD AC BA BC
BC BA CA CD AD BD
AB AC DA CD BC DB
CD BD BA CB AC DA
AB DA CD AC CB BD
AB AD CD DB CB CA
DA CA CB CD DB BA
BC CD DA BD BA CA
AD BA CB DB CD AC
BC BD AB AD CD AC
DC BC CA AD AB DB
DA DB CB DC CA AB
AB CA DA DB CD CB
CD DA AC CB BA DB
BD AD AB AC DC BC
DC DB AB CB CA DA
CD CB BD DA BA AC
AC AB DB CB CD AD
AC DC DB AD BA CB
DA DC CA AB CB DB
CA DC DA BA DB CB
AB BC DB AD DC CA
CD AC CB BA AD DB
CA AD AB DB DC BC
AD AC BC DC BD AB
DA AB DB DC CB CA
AC BA BC DB AD CD
CB CA AB AD CD DB
AB AC DC AD BD BC
BC CA AD AB BD DC
AB BD CB AC CD AD
DA DC BC DB BA AC
BD BC BA AC CD AD
AC DC DA BA BD CB
CD DB DA CA AB CB
BD CB DC AC AB DA
AB DB DC BC CA AD
DC DA CA BA BD BC
BD BA DA DC AC BC
CD BC DB AD BA AC
CA BA BD BC CD DA
CB BA AD DB CD AC
BC CD DA AC BA DB
CD CA BA DA DB CB
AD BA CB BD DC CA
BC BA DB DA CA DC
DB DC AD BA CA CB
CA CD CB AB DB DA
CA AD DB CD BC AB
DC AD CA BA BD CB
BC CD DA DB BA AC
BD BA BC CA AD CD
AC DC AD BD BC AB
BD CD BC AB AC AD
DB BC BA CA CD AD
AD CD CA BA BC BD
CA BA AD DB BC CD
BA AC DA BD DC BC
AC CD DA BD CB BA
CB AC DA AB BD DC
AC CD CB BD DA BA
DB AD CD CB AC AB
BA DB AD DC CB AC
CD DB AD CA AB CB
CD CA AD AB CB BD
CB DC AD BD BA CA
BC DB AD DC AC AB
DA DC BD AB CB CA
DC DB AB CB AC DA
CA BA AD DC DB CB
AC CB BD AB AD CD
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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X giobimbo
Adesso ho capito;
io per retta di simmetria intendevo proprio le linee che si venivano a formare dal congiungimento dei punti;
per cui avevo inteso: se non c'è linea non c'è simmetria;
invece, se ho capito bene, tu intendi gli assi immaginari di simmetria;
(in questo caso è chiaro che vi possono essere 6 simmetrie);
giuste allora le soluzioni di Pasquale.
Admin
Adesso ho capito;
io per retta di simmetria intendevo proprio le linee che si venivano a formare dal congiungimento dei punti;
per cui avevo inteso: se non c'è linea non c'è simmetria;
invece, se ho capito bene, tu intendi gli assi immaginari di simmetria;
(in questo caso è chiaro che vi possono essere 6 simmetrie);
giuste allora le soluzioni di Pasquale.
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Bravo Pasquale, la figura è quella, ma non era il caso di sobbarcarsi la faticaccia di scrivere tutte quelle sequenze; è ovvio che permutando le lettere o scambiando i colori, o ambedue le cose, si ottengono un gran numero di etichettature diverse per i 6 punti. Mi domando se con 10 punti e tutte le coppie distinte formate usando le lettere A, B, C, D, E, sia possibile ottenere una figura simmetrica per colore.
Giuste le considerazioni sulle simmetrie, difatti la figura della soluzione ha due simmetrie (ma una sola per colore), una con l'asse che passa per due vertici opposti e l'altra con l'asse che passa in mezzo a due lati opposti. I due assi sono perpendicolari.
Giuste le considerazioni sulle simmetrie, difatti la figura della soluzione ha due simmetrie (ma una sola per colore), una con l'asse che passa per due vertici opposti e l'altra con l'asse che passa in mezzo a due lati opposti. I due assi sono perpendicolari.
Non ti preoccupare Giò, nessuna fatica: ho dato l'incarico a Db di provvedere in merito, il quale ha provveduto anche per i seguenti esempi relativi ai 10 punti:
EB DB DC EC DE AD BA CB CA EA
BC CE CD EA BA ED AC AD EB DB
ED CE BD BA AE AC DC CB EB DA
EA ED DC EC AD DB BE CA CB BA
ED CE CD DB BC AC AB BE EA DA
AB AE AD DC CA EC BE ED DB CB
DC DB EB AC EC AE DA DE BA BC
BA EA CB BE CD DE EC DA AC BD
BD ED AC BE DA CE AB CD EA BC
DB BA BE CA CD EA BC EC AD ED
Il disegnino si riferisce alla prima soluzione:
EB DB DC EC DE AD BA CB CA EA
BC CE CD EA BA ED AC AD EB DB
ED CE BD BA AE AC DC CB EB DA
EA ED DC EC AD DB BE CA CB BA
ED CE CD DB BC AC AB BE EA DA
AB AE AD DC CA EC BE ED DB CB
DC DB EB AC EC AE DA DE BA BC
BA EA CB BE CD DE EC DA AC BD
BD ED AC BE DA CE AB CD EA BC
DB BA BE CA CD EA BC EC AD ED
Il disegnino si riferisce alla prima soluzione:
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In effetti, usando una sorta di calcolo algebrico, tipo XY+YZ=ZX, quando ho posto la domanda avevo già trovato le lettere che mi davano una soluzione (diversa dalla tua), solo che da ogni punto partivano quattro linee nere e una rossa che mi davano una figura nera simmetrica e una rossa con simmetria rotazionale. Questo mi aveva sconcertato e indotto a porre la domanda.
Molto più tardi mi son reso conto che da ogni punto dovevano uscire sei linee, non cinque: aggiungendo le rosse mancanti tutto quadrava!
Sembra comunque che l'algebra non c'entri, ho elaborato un metodo semplice che mi dà l'unica soluzione con 3 punti, l'unica con 6 e le soluzioni con 10, mentre con 15 punti e le lettere A, B, C, D, E, F non esiste simmetria di colore. Esiste una simmetria di colore con 14 punti ma il punto mancante bisognerebbe metterlo all'interno o all'esterno del 14-gono regolare...
Pasquale, visto che usi il computer per trovare le soluzioni, mi puoi confermare che non ne esistono con 15 punti?
Molto più tardi mi son reso conto che da ogni punto dovevano uscire sei linee, non cinque: aggiungendo le rosse mancanti tutto quadrava!
Sembra comunque che l'algebra non c'entri, ho elaborato un metodo semplice che mi dà l'unica soluzione con 3 punti, l'unica con 6 e le soluzioni con 10, mentre con 15 punti e le lettere A, B, C, D, E, F non esiste simmetria di colore. Esiste una simmetria di colore con 14 punti ma il punto mancante bisognerebbe metterlo all'interno o all'esterno del 14-gono regolare...
Pasquale, visto che usi il computer per trovare le soluzioni, mi puoi confermare che non ne esistono con 15 punti?
Giò, con 15 punti la scrittura del programma diventa pesante (almeno così come l'ho concepito in prima battuta) e i tempi di esecuzione si allungano (già lo erano con 10 punti), per cui non mi ci metto (c'è da perdere troppo tempo): però a lume di naso penso che le simmetrie dovrebbero esserci, perché c'è sempre la possibilità che fra due punti non ci sia alcuna linea, nè rossa, nè nera, il che porta a risparmiare combinazioni di lettere utili per le simmetrie.
Comunque, se mi ci metto a provare qualcosa, poi ti faccio sapere.
Per quanto riguarda le uniche soluzioni alle quali ti riferisci, intendi con linee tutte nere?
Comunque, se mi ci metto a provare qualcosa, poi ti faccio sapere.
Per quanto riguarda le uniche soluzioni alle quali ti riferisci, intendi con linee tutte nere?
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Dunque ho potuto constatare che le sequenze utili da testare, per decidere se esiste o meno la simmetria con 15 punti, stanno sull'ordine di $13\cdot 10^{14}$, per cui la cosa non è affrontabile col computer, come già detto precedentemente: ho comunque testato con esito negativo circa 200.000 sequenze a campione, che sono troppo poche rispetto al totale, per cui non saprei dire se la simmetria c'è, oppure no.
Non so se è possibile affrontare il problema in modo più semplice e diverso... non c'ho pensato proprio.
A questo punto, bisognerebbe dimostrare che non può esistere una simmetria: forse qualche cervellone che conosciamo ci riesce.
Non so se è possibile affrontare il problema in modo più semplice e diverso... non c'ho pensato proprio.
A questo punto, bisognerebbe dimostrare che non può esistere una simmetria: forse qualche cervellone che conosciamo ci riesce.
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Proprio così, la figura pura e semplice, senza lettere e senza colori.Pasquale ha scritto:Per quanto riguarda le uniche soluzioni alle quali ti riferisci, intendi con linee tutte nere?
Quando ci si imbatte nella cosiddetta "esplosione combinatoria" salta subito fuori l'inconveniente di usare la forza bruta nel trovare le soluzioni di un problema. Purtroppo col mio computer Decimal Basic non funziona quindi non posso neanche provare il tuo programma. Qui sotto riporto la soluzione con 14 punti, divisa in due figure per maggiore comprensione; manca il punto BE (oppure EB) che andrebbe messo sulla linea di simmetria, quella verde orizzontale. Tale linea, dovendo passare per due vertici del 15-gono, quando taglia il poligono lascia una parte con 6 punti e l'altra con 7.
Oops, vedo che, mentre scrivevo, Pasquale ha aggiunto qualcosa.
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