Una serie...

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Una serie...

Messaggio da Admin »

$\quad\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+...+\frac{n}{2^{n+1}}+...$

Quanto vale la somma dei primi $n$ termini della serie?

Ciao
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Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
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leandro
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Messaggio da leandro »

Per ora posto solo la formula finale,per dar modo agli altri amici
di trovare la dimostrazione (altrimenti posto la mia).
$S_n=1-\frac{n+2}{2^{n+1}}$
Leandro

Bruno
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Re: Una serie...

Messaggio da Bruno »

...

Sei nobilissimo, Leandro :D
(Non so perché, ma penso che per te sia stata una passeggiata...)
Allora ne approfitto per... sfigurare!
Pietro ci chiede di calcolare la somma:

$1) \; S_n = \frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+...+\frac{n}{2^{n+1}$

E a me è venuto in mente di aggiungere ad essa degli altri termini ( :shock: ),
più precisamente quelli della seguente progressione geometrica, la cui
somma è facilmente calcolabile:

$p = \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^{n+1}} = \frac{1-\frac{1}{2^{n+2}}}{1-\frac{1}{2}}-1-\frac{1}{2} = \frac{2^n-1}{2^{n+1}}$

e questo perché ho visto che:

$S_n+p = \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}\)+\(\frac{2}{2^3}+\frac{1}{2^3}\)+\(\frac{3}{2^4}+\frac{1}{2^4}\)+...+\(\frac{n}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}}\) = \frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}+...+\frac{n+1}{2^{n+1}$.

Ma allora, riguardando un attimo la (1):

$S_n+p = 2\(\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+\frac{4}{2^5}+...+\frac{n+1}{2^{n+2}\) = 2\(S_n-\frac{1}{2^2}+\frac{n+1}{2^{n+2}\)$

e quindi, ricordando che $\, p = \frac{2^n-1}{2^{n+1}}$:

$S_n = \frac{2^n-1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2}-\frac{n+1}{2^{n+1}} = 1-\frac{n+2}{2^{n+1}}$,

per mantenere la forma indicata da Leandro.

(Se&o)

Bruno
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Messaggio da Admin »

Esatto!

In effetti anch'io ho utilizzato lo stesso procedimento di Bruno, anche se ho allungato un pò i calcoli;

senza che riposto i calcoli nel dettaglio, ho fatto in più il minimo comune multiplo della serie all'inizio;
per il resto stesso procedimento.

X Leandro
stesso procedimento? o ci sei arrivato per un'altra strada?

Sarebbe interessante una soluzione alternativa.

Ciao
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leandro
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Messaggio da leandro »

Una soluzione alternativa ce l'avrei ma e' basata sui metodi dell'analisi
discreta ,metodi che sono in genere lunghi e complicati.
Comunque in base ad essi (od anche col procedimento da voi indicato) e'
possibile generalizzare la somma richiesta al seguente modo:
$\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)x^{k+2}=\frac{x^2}{(1-x)^2}[1+nx^{n+1}-(n+1)x^n]$
Ponendo in questa formula $x=\frac{1}{2}$ si ritrova la somma indicata inizialmente.
Leandro

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