Suddivisione in fattori

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Pasquale
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Suddivisione in fattori

Messaggio da Pasquale »

E' possibile suddividere in fattori un binomio tipo $4x^8 + 1$ ?
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

prontoadimparare
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Messaggio da prontoadimparare »

$4x^8 + 1$

è equivalente a $4x^8 + 1 + 4x^4 - 4x^4$

da cui, raccogliendo

$(2x^4+1)^2 - 4x^4$
$(2x^4+1)^2 - (2x^2)^2$ che è una differenza di quadrati

da cui

$(2x^4 + 2x^2 + 1)(2x^4 - 2x^2 + 1)$


SE & O


Saluti da
prontoadimparare
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Messaggio da Admin »

Ottimo Pai!

introducendo i complessi si ha:

$4x^8+1=$

$\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac12-\frac{\sqrt2}{4}}+i\sqrt{\frac12+\frac{\sqrt2}{4}}\right)\cdot\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac12-\frac{\sqrt2}{4}}-i\sqrt{\frac12+\frac{\sqrt2}{4}}\right)\cdot\left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac12-\frac{\sqrt2}{4}}+i\sqrt{\frac12+\frac{\sqrt2}{4}}\right)\cdot\left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac12-\frac{\sqrt2}{4}}-i\sqrt{\frac12+\frac{\sqrt2}{4}}\right)\cdot\\\cdot\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac12+\frac{\sqrt2}{4}}+i\sqrt{\frac12-\frac{\sqrt2}{4}}\right)\cdot\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac12+\frac{\sqrt2}{4}}-i\sqrt{\frac12-\frac{\sqrt2}{4}}\right)\cdot\left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac12+\frac{\sqrt2}{4}}+i\sqrt{\frac12-\frac{\sqrt2}{4}}\right)\cdot\left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac12+\frac{\sqrt2}{4}}-i\sqrt{\frac12-\frac{\sqrt2}{4}}\right)$

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Bruno
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Messaggio da Bruno »

...

Ciao, Pietro!
Ho appena visto il tuo post e (così, con una semplice occhiata) non
sono riuscito a capire come hai ricavato quell'imponente prodotto...
wow :D
Forse hai utilizzato il risultato di Prontoadimparare?

Rifletterò un po' meglio, ma intanto vedo che $\small \; 4x^8+1 = (2x^4)^2+1^2$
e questo mi dice che il binomio di Pasquale, seguendo il tuo esempio,
si possa anche scrivere direttamente in questo modo:
$\small 4x^8+1 = (2x^4-i)(2x^4+i)$.

Molto diretta ed efficace la scomposizione di Prontoadimparare :wink:
(Bruno)

...........................
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l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

prontoadimparare
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Messaggio da prontoadimparare »

Intanto ringrazio sia Pietro che Bruno per l'incoraggiamento. Per il resto, mi piacerebbe sapere come Pietro sia arrivato a quel risultato. Complessi...brrr... già il nome... Sono davvero curioso.

Arguta la scomposizione di Bruno, basata sul fatto che $i=sqrt{-1}$.


Saluti dal vostro affezionato
Pai
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Messaggio da Admin »

Parto dalla scomposizione di Pai:

$(2x^4 + 2x^2 + 1)(2x^4 - 2x^2 + 1)$

Analizziamo il fattore $2x^4 + 2x^2 + 1$:
ponendo $t=\sqrt2x^2$ si ottiene:

$t^2 + \frac{2}{\sqrt2}t + 1\quad\Rightarrow\quad t^2 + \sqrt2t + 1$

le cui soluzioni sono:

$t=\frac{-\sqrt2\pm i\sqrt2}{2}$

quindi fattorizzando abbiamo:

$t^2 + \sqrt2t + 1=\left(t-\frac{-\sqrt2+ i\sqrt2}{2}\right)\left(t-\frac{-\sqrt2- i\sqrt2}{2}\right)\quad\Rightarrow\quad \left(t+\frac{\sqrt2- i\sqrt2}{2}\right)\left(t+\frac{\sqrt2+ i\sqrt2}{2}\right)$

e risostituendo x:

$\left(\sqrt2x^2+\frac{\sqrt2- i\sqrt2}{2}\right)\left(\sqrt2x^2+\frac{\sqrt2+ i\sqrt2}{2}\right)$

Scomponiamo ora questi 2 "sottofattori":

1) Fattore $\left(\sqrt2x^2+\frac{\sqrt2- i\sqrt2}{2}\right)$; si ha:

$\left(\sqrt2x^2+\frac{\sqrt2- i\sqrt2}{2}\right)=\left(\sqrt2x^2-\frac{i\sqrt2-\sqrt2}{2}\right)$

applicando la fattorizzazione $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ si ottiene

$\left(\sqrt2x^2-\frac{i\sqrt2-\sqrt2}{2}\right)=\left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac{i\sqrt2-\sqrt2}{2}}\right)\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac{i\sqrt2-\sqrt2}{2}}\right)$

ora il valore $\sqrt{\frac{i\sqrt2-\sqrt2}{2}}$ è un radicale doppio; esso vale:

$\sqrt{\frac{i\sqrt2-\sqrt2}{2}}=\sqrt{\frac{-\sqrt2+\sqrt{-2}}{2}}=\frac{\sqrt{-\sqrt2+\sqrt{-2}}}{\sqrt2}=\frac{\sqrt{\frac{-\sqrt2+2}{2}}+\sqrt{\frac{-\sqrt2-2}{2}}}{\sqrt2}$

Si nota che il 2° radicale al numeratore ha radicando sicuramente negativo; per cui possiamo "portare fuori" il segno meno utilizzando $i$; si ha:

$\frac{\sqrt{\frac{-\sqrt2+2}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt2+2}{2}}}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{-\sqrt2+2}{4}}+i\sqrt{\frac{\sqrt2+2}{4}}=\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt2}{4}}+i\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt2}{4}}$

2) Fattore $\left(\sqrt2x^2+\frac{\sqrt2+ i\sqrt2}{2}\right)$; si ha:

$\left(\sqrt2x^2+\frac{\sqrt2+ i\sqrt2}{2}\right)=\left(\sqrt2x^2-\frac{-i\sqrt2-\sqrt2}{2}\right)$

applicando la fattorizzazione $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ si ottiene

$\left(\sqrt2x^2-\frac{-i\sqrt2-\sqrt2}{2}\right)=\left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac{-i\sqrt2-\sqrt2}{2}}\right)\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac{-i\sqrt2-\sqrt2}{2}}\right)$

ora il valore $\sqrt{\frac{-i\sqrt2-\sqrt2}{2}}$ è un radicale doppio; esso vale:

$\sqrt{\frac{-i\sqrt2-\sqrt2}{2}}=\sqrt{\frac{-\sqrt2-\sqrt{-2}}{2}}=\frac{\sqrt{-\sqrt2-\sqrt{-2}}}{\sqrt2}=\frac{\sqrt{\frac{-\sqrt2+2}{2}}-\sqrt{\frac{-\sqrt2-2}{2}}}{\sqrt2}$

Si nota che il 2° radicale al numeratore ha radicando sicuramente negativo; per cui possiamo "portare fuori" il segno meno utilizzando $i$; si ha:

$\frac{\sqrt{\frac{-\sqrt2+2}{2}}-i\sqrt{\frac{\sqrt2+2}{2}}}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{-\sqrt2+2}{4}}-i\sqrt{\frac{\sqrt2+2}{4}}=\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt2}{4}}-i\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt2}{4}}$

quindi ricapitolando, il fattore $2x^4+2x^2+1$ è pari a:

$2x^4+2x^2+1=\left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac{i\sqrt2-\sqrt2}{2}}\right)\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac{i\sqrt2-\sqrt2}{2}}\right) \left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac{-i\sqrt2-\sqrt2}{2}}\right)\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac{-i\sqrt2-\sqrt2}{2}}\right) =\\\left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt2}{4}}-i\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt2}{4}} \right)\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt2}{4}}+i\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt2}{4}} \right) \left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt2}{4}}+i\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt2}{4}} \right)\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt2}{4}}-i\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt2}{4}} \right)$

Per l'altro fattore il procedimento è analogo.

Spero non ci siano errori.

Ciao
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
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prontoadimparare
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Messaggio da prontoadimparare »

Wow, Pietro, che opera colossale! Comunque ti sei fatto capire egregiamente.

Che bello imparare cose nuove...
Pai
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