A zonzo per internet, ho trovato la seguente formula di pigreco
$\pi = 2\cdot \frac {2}{\sqrt{2}}\cdot \frac {2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot \frac {2}{\sqrt{2+\sqrt{2+ \sqrt{2}}}}$..............
che ho tradotto nel seguente programmino in Decimal Basic, da far girare con la precisione 10/1000 :
LET p=4/SQR(2)
LET x=SQR(2)
FOR m=1 TO 100
LET x=SQR(2+x)
LET p=p*2/x
NEXT M
PRINT p
PRINT pi
END
Il valore di p converge velocemente verso pigreco, talché risulta sufficiente un ciclo FOR-NEXT di appena 100 reiterazioni, per ottenere una precisione fino alla sessantesima cifra decimale.
Qualcuno sa da dove vien fuori la formula? Come si dimostra?
Pigreco
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Questo è un altro modo di calcolare pigreco:
$\pi = 4 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac {(-1)^n}{2n+1}$
così tradotto:
FOR n=0 TO 1000000
LET x=x+(-1)^n*1/(2*n+1)
NEXT N
PRINT 4*x
Converge molto più lentamente, rispetto al primo sistema, talché dopo 1 milione di reiterazioni, il pigreco risulta approssimato appena alla quinta cifra decimale.
$\pi = 4 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac {(-1)^n}{2n+1}$
così tradotto:
FOR n=0 TO 1000000
LET x=x+(-1)^n*1/(2*n+1)
NEXT N
PRINT 4*x
Converge molto più lentamente, rispetto al primo sistema, talché dopo 1 milione di reiterazioni, il pigreco risulta approssimato appena alla quinta cifra decimale.
_________________
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
Re: Pigreco
Ricordavo di averla già vista, mi sembrava un risultato "storico".Pasquale ha scritto:A zonzo per internet, ho trovato la seguente formula di pigreco
$\pi = 2\cdot \frac {2}{\sqrt{2}}\cdot \frac {2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot \frac {2}{\sqrt{2+\sqrt{2+ \sqrt{2}}}}$..............
(...)
Qualcuno sa da dove vien fuori la formula? Come si dimostra?
In effetti, scartabellando qua e là, ho ritrovato un'espressione che equivale
a quella che tu proponi ed è una formula notevole del matematico francese
F. Viète (XVI secolo).
Sto scrivendo da una biblioteca e quindi non posso dilungarmi, ma questo
è il risultato di Viète:
$\frac{\pi}{2}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}}\cdot \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{1}{2}}}\cdot \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{1}{2}}}}\; ...}$
da cui, con semplici interventi, deriva proprio quella che tu hai trovato in
Internet.
Di questa formula parla anche C. Boyer in Storia della matematica (capitolo:
Ricostruzione del trattato di Apollonio) e D. Wells in Numeri memorabili.
Si può ottenere attraverso l'inscrizione di successivi poligoni regolari in una
circonferenza.
Guardando un po' fra i miei libri, mi è saltata fuori una cosina che ho 'scoperto'
parecchi anni fa e che mi diverte lasciar qui come sorpresina pasquale:
$41\cdot (10^5\cdot \pi ^{\frac{355}{113}}+1)\simeq 149494941$
che fornisce una buona approssimazione di $\, \pi \,$ (credo fino alla nona o
decima cifra).
Vabbè... naturalmente, Pasquale, non ha nulla a che fare con l'interessante
algoritmo che hai riportato qui sopra
Buona Pasqua a tutti!
Bruno
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
La formula di Viète si puo' ottenere da un'altra (di cui Pasquale
chiedeva la dimostrazione nel post "Crisi di identita' ").
Essa si puo' ricavare ,come gia' suggerito da altri forumisti,applicando
ripetutamente la formula di duplicazione del seno.Precisamente:
$\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$
$\sin \frac{x}{2}=2\sin\frac{x}{2^2}\cos\frac{x}{2^2}$
$\sin \frac{x}{2^2}=2\sin\frac{x}{2^3}\cos\frac{x}{2^3}$
.....................................
.....................................
$\sin \frac{x}{2^{n-1}}=2\sin\frac{x}{2^{n}}\cos\frac{x}{2^{n}}$
Moltiplicando membro a membro ed eliminando i fattori comuni
risulta:
$\sin x=2^n \sin \frac{x}{2^n}\cos \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2^2}\cos\frac{x}{2^3}...\cos\frac{x}{2^n}$
Oppure:
$\frac {sin x}{x}.\frac{\frac{x}{2^n}}{\sin\frac{x}{2^n}}=\cos \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2^2}\cos\frac{x}{2^3}...\cos\frac{x}{2^n}$
Da cui ,passando al limite per n-->+inf ,si ottiene:
$\frac {sin x}{x}=\cos \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2^2}\cos\frac{x}{2^3}.....$
Se poi in questa formula poniamo $x=\frac{\pi}{2}$ con qualche
calcolo si ottiene il risultato richiesto.
Buona Pasqua a tutti
Leandro
chiedeva la dimostrazione nel post "Crisi di identita' ").
Essa si puo' ricavare ,come gia' suggerito da altri forumisti,applicando
ripetutamente la formula di duplicazione del seno.Precisamente:
$\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$
$\sin \frac{x}{2}=2\sin\frac{x}{2^2}\cos\frac{x}{2^2}$
$\sin \frac{x}{2^2}=2\sin\frac{x}{2^3}\cos\frac{x}{2^3}$
.....................................
.....................................
$\sin \frac{x}{2^{n-1}}=2\sin\frac{x}{2^{n}}\cos\frac{x}{2^{n}}$
Moltiplicando membro a membro ed eliminando i fattori comuni
risulta:
$\sin x=2^n \sin \frac{x}{2^n}\cos \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2^2}\cos\frac{x}{2^3}...\cos\frac{x}{2^n}$
Oppure:
$\frac {sin x}{x}.\frac{\frac{x}{2^n}}{\sin\frac{x}{2^n}}=\cos \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2^2}\cos\frac{x}{2^3}...\cos\frac{x}{2^n}$
Da cui ,passando al limite per n-->+inf ,si ottiene:
$\frac {sin x}{x}=\cos \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2^2}\cos\frac{x}{2^3}.....$
Se poi in questa formula poniamo $x=\frac{\pi}{2}$ con qualche
calcolo si ottiene il risultato richiesto.
Buona Pasqua a tutti
Leandro