Novantuno

[Bruno]

Per quali interi m il numero 3m²+3m+1 è divisibile per 91?

[Admin]

Rscriviamo l'espressione come

$3m^2+3m+91-90\quad\Rightarrow\quad 91+3m^2+3m-90\quad\Rightarrow\quad 91+3(m+6)(m-5)$

Si tratta di capire per quali valori di $m$, il prodotto $(m+6)(m-5)$ è divisibile per 91.
Sapendo che $91=13\cdot 7$, $(m+6)(m-5)$ è divisibile per 91 se:

1. $m+6$ è divisibile per 91;
2. $m-5$ è divisibile per 91;
3. $m+6$ è divisibile per 13 e $m-5$ è divisibile per 7;
4. $m+6$ è divisibile per 7 e $m-5$ è divisibile per 13;

Caso 1.

Affinchè $m+6$ sia divisibile per 91, deve essere $m+6=91k\quad\Rightarrow\quad m=91k-6$ con k intero positivo;

Caso 2.

Affinchè $m-5$ sia divisibile per 91, deve essere $m-5=91k\quad\Rightarrow\quad m=91k+5$ con k intero positivo;

Caso 3.

Affinchè $m+6$ sia divisibile per 13 e $m-5$ per 7 deve essere

$\left{m+6=13a\\m-5=7b\right\quad\Rightarrow\quad\left{m=13a-6\\b=\frac{13a-11}{7}\right$
con a e b interi positivi.

Affinchè b sia intero, a deve essere del tipo:

$a=7k-4$ con k intero positivo;
infatti in tal caso si ha $b=\frac{13a-11}{7}=\frac{91k-63}{7}=13k-9$

Quindi ci ricaviamo m:

$m=13a-6=13(7k-4)-6=91k-58$

Caso 4.

Affinchè $m+6$ sia divisibile per 7 e $m-5$ per 13 deve essere

$\left{m+6=7c\\m-5=13d\right\quad\Rightarrow\quad\left{c=\frac{13d+11}{7}\\m=13d+5\right$
con c e d interi positivi.

Affinchè c sia intero, d deve essere del tipo:

$d=7k-3$ con k intero positivo;
infatti in tal caso si ha $c=\frac{13d+11}{7}=\frac{91k-28}{7}=13k-4$

Quindi ci ricaviamo m:

$m=13d+5=13(7k-3)+5=91k-34$



Quindi per tutti i valori interi di $m$ del tipo

$91k-58$
$91k-34$
$91k-6$
$91k+5$

con $k$ intero positivo,
l'espressione iniziale è divisibile per 91.

Admin

[Admin]

In realtà $k$ può essere anche 0;
in tal caso si ha la soluzione

$m=91k+5=5$ che soddisfa il problema.

In realtà avrei dovuto scrivere $m=91c+5$, dove $c=k-1$;
da cui

$m=91(k-1)+5=91k-91+5=91k-86$

Quindi per tutti i valori interi di m del tipo

$91k-86$
$91k-58$
$91k-34$
$91k-6$

con $k$ intero positivo,
l'espressione iniziale è divisibile per 91.

[Bruno]

Quindi per tutti i valori interi di m del tipo

$91k-86$
$91k-58$
$91k-34$
$91k-6$

con $k$ intero positivo,
l'espressione iniziale è divisibile per 91.

OK, Pietro

[Admin]

Ciao Bruno,
ricordo che mi avevi fatto notare che k può essere anche negativo (adesso però non vedo più questa nota);

comunque hai ragione, avevo considerato solo l'insieme degli interi naturali;

quindi in tutte le parti della dimostrazione in cui scrivo

con k intero positivo
con a e b interi positivi
con c e d interi positivi

e da intendersi

con k intero
con a e b interi
con c e d interi

Admin

[Bruno]

...

Ok, Pietro, penso che la tua precisazione sia opportuna.
Avevo tolto la mia nota perché alla fine, con m negativi, non si trovano
numeri 3·m²+3·m+1 diversi. Ma, in effetti, il 'protagonista' del problema
è m e non 3·m²+3·m+1.
Purtroppo anche a me tocca correre e qualche volta cedo alla frettolosità.