Calcolare a mente (o a mano) un logaritmo

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Calcolare a mente (o a mano) un logaritmo

Messaggio da Admin »

Ho sempre provato a calcolare a mente i logaritmi in base 2, o comunque in basi piccole;
ho un paio di metodi che utilizzo e che non sono riuscito a perfezionare più di tanto;

Cosa proponete voi, per il calcolo a mano di $log_2x$, con precisione estesa almeno alla 2° cifra decimale?
(naturalmente $x\ne 2^c$)

e per quello di $log_nx$?

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Messaggio da panurgo »

Il modo più semplice mi pare quello di imparare a memoria un certo numero di logaritmi in una base prefissata (per esempio, 10) e di usare la relazione

$\log_{\script n}x = \frac {\log x} {\log n}$

ma forse ciò è più banale di quel che vai cercando...

La base dieci è particolarmente conveniente, ma forse si può provare con la base cinque

$\log_{\script 5} 2 \approx 0,43 \\ \log_{\script 5} 3 \approx 0,68 \\ \log_{\script 5} 4 \approx 0,86 \\ \log_{\script 5} 5 = 1 \\ \log_{\script 5} 6 \approx 1,11$

:D
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Re: Calcolare a mente (o a mano) un logaritmo

Messaggio da Nicola »

Admin ha scritto:Cosa proponete voi, per il calcolo a mano di $log_2x$, con precisione estesa almeno alla 2° cifra decimale?
(naturalmente $x\ne 2^c$) e per quello di $log_nx$?
Si può provare a sviluppare $y=log_n(x+1)$ mediante il polinomio di Taylor, in un intorno destro di $x=0$, scrivendo il resto nella forma di Lagrange. Maggiorando opportunamente il resto (cosa forse possibile) si calcolano i termini che ci servono nello sviluppo polinomiale per l'approssimazione voluta.
Nicola.
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Messaggio da Admin »

Ciao Panurgo,
pur applicando la conversione di base, c'è sempre da calcolare $log_{10} x$ che non è tanto più facile di $log_{2} x$;
(tieni presente che mi riferisco a valori di x fino a 5 cifre;)
però la conversione di base e quindi il ricordarsi i logaritmi base per la conversione, cioè:

$log_{10} 2$
$log_{10} 3$
$log_{10} ...$
$log_{10} 9$

risulta utile se utilizziamo la serie di Taylor proposta da Nicola.

X Nicola

E' una buona idea; devo provare.
Anche se, per valori di x con 3 o più cifre è tutt'altro che semplice calcolare a mente valori come $x^4$,$x^5$, etc..

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Messaggio da Admin »

Ciao Nicola,
ho provato ad utilizzare la serie di Taylor per $log_n(1+x)$, ma la serie converge è quindi approssima il risultato reale, solo se $|x|<1$;

dove sbaglio?

P.S.: Devo ancora provare l'altro metodo da te proposto nel topic di Gianfranco

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Messaggio da Nicola »

[quote="Admin"]Ciao Nicola,
ho provato ad utilizzare la serie di Taylor per $log_n(1+x)$, ma la serie converge è quindi approssima il risultato reale, solo se $|x|0$. Sostituendo il valore di $x$ trovato nell'ultima formula si ha, infine,

$ln(t+1) = lnt +2( \frac{1}{2t+1} + \frac{1}{3(2t+1)^3} +\frac{1}{5(2t+1)^5}+...)$

mediante la quale, attribuendo a $t$ valori convenienti, possiamo calcolare i logaritmi naturali di tutti i numeri. Ad esempo per $t = 1$ otteniamo per

$ln2 = 2(\frac{1}{3} + \frac{1}{3*(3)^3} +\frac{1}{5*(3)^5}+...)$,

che converge assai più rapidamente della serie armonica di partenza

$ln2 = 1 -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} -\frac{1}{4}+...$.

P.S. Per l'algoritmo del topic di Gianfranco mi è sfuggito di dirti che nella funzione da calcolare bisogna comunque considerare un'esponenziale e il logaritmo naturale della base nella quale si effettua il calcolo (e non so fino a che punto è conveniente!).
Nicola.
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Messaggio da Admin »

interessante la sostituzione;
ma purtroppo quest'ultima formula è più complessa della serie di Taylor di base ed è difficilmente calcolabile a mente o anche a mano;
infatti c'è $ln\, t$;
per cui dovremmo usare ricorsivamente questa relazione...

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Messaggio da Nicola »

Mi sembra che a questo punto le alternative siano ben poche. La stessa formula generalizzata per una base $a$ qualsiasi è:

$log_a(t+1) = log_at + \frac{2}{lna}( \frac{1}{2t+1} + \frac{1}{3(2t+1)^3} +\frac{1}{5(2t+1)^5}+...)$,

anch'essa ricorsiva, dove il termine $lna$ è già stato calcolato con la formula vista prima.

L'algoritmo del topic di Gianfranco fornisce, invece, la formula iterativa:

$y_{n+1} = y_n - \frac{a^{y_n} - x}{a^{y_n}lna}$

la quale non presenta problemi di convergenza, ma necessita della conoscenza di $lna$ e richiede il calcolo dell'esponenziale. Anche in questo caso il "Principio di conservazione della difficoltà matematica di calcolo" è abbondantemente verificato. :D
Nicola.
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