La potenza delle somme

[_Bruno]

...

Esprimere la potenza naturale $\; a^m\;$ mediante la somma di $\; k\;$numeri
interi e positivi in progressione aritmetica.


_________________
Invisibile un vento / l'ha apena sfioragia / sospension d'un momento; /
e la bola iridessente gera 'ndagia. (Biagio Marin)

[_delfo52]

parto con una serie di considerazioni, di cui non ho la più pallida idea se contengano o meno un briciolo di verità.
in una progressione aritmetica, cioè con intervalli uguali, quello che conta è l'elemento mediano (nel caso di k dispari, o la coppia di elementi centrali se gli elementi della progressione sono in numero pari); tutto il resto è per definizione simmetrico.
Il numero che deve essere espresso come somma, nel problema proposto è una potenza (a^m), ma la cosa può anche non interessarci; quello che conta è che dobbiamo smontarlo in un certo numero (k) di pezzi "interi".
Il valore "medio" di questi pezzi è pertanto uguale al numero "grosso" diviso per k
Ora, se il numero degli elementi è dispari, quello centrale, oltre ad essere "mediano", è anche la "media"; e deve corrispondere al quoziente tra i termini suindicati
La cosa va bene se e solo se il quoziente non dà resto, e se il quoziente stesso non è troppo piccolo, altrimenti si rischia che non ci siano abbastanza elementi interi e positivi.

per ora basta
_________________
Enrico
(E' la divergenza di opinioni che rende possibili, e interessanti, le corse di cavalli-M.Twain)

[_Daniela]

ma k e' arbitrario ?
si potrebbe maliziosamente scegliere una successione con 2 soli termini...
_________________
Daniela
"L'essenza della libertà è la matematica"

[_delfo52]

c'è un altra cosa da scoprire:
i puntini di sospensione iniziali sono:
- un vezzo
- un mistero
- un enigma
- una parte del problema
- un errore
- un verso "ermetico" , ma ermetico-ermetico (che più ermetico non si può)
.............(puntini di sospensione normali)
_________________
Enrico
(E' la divergenza di opinioni che rende possibili, e interessanti, le corse di cavalli-M.Twain)

[_Daniela]

I puntini di sospensione iniziali sono una deliziosa hint al campo numerico dei naturali in cui il problema e' proposto....... (guarda che brava io ho messo i puntini di sospensione dopo una O/0.......... e ne metto di nuovo.....)
_________________
Daniela
"L'essenza della libertà è la matematica"

[_Bruno]

ma k e' arbitrario ?

...ecco, bisognerebbe vedere come devono essere k, m ed a perché
si possa rispondere al quesito.
Probabilmente può servire cominciare a ragionare su casi particolari.
Il problema non è semplice, in effetti, ma può essere ricondotto a un certo
numero di possibilità.

c'è un altra cosa da scoprire:
i puntini di sospensione iniziali sono:
- un vezzo
- un mistero
- un enigma
- una parte del problema
- un errore
- un verso "ermetico" , ma ermetico-ermetico (che più ermetico non si può)

...(li ho rifatti!) forse sono un errore enigmatico e misterioso, decisamente
ermetico... (un'altra volta!)
Ma hanno pure a che fare con l'hint di Daniela: in quest'ultimo caso sono
riferiti ai contributi ben più importanti che quasi sempre precedono i miei
interventi.


_________________
Invisibile un vento / l'ha apena sfioragia / sospension d'un momento; /
e la bola iridessente gera 'ndagia. (Biagio Marin)

[_Pasquale]

Penso che a e/o m dovrebbero essere espressi in funzione di k; ad esempio potrebbe essere m=2k o m=2k+1 di modo che:

$a^{2k} = (a^2)^k = (a^k)^2$

$a^{2k+1} = a\cdot a^{2k}= a\cdot(a^2)^k = a\cdot(a^k)^2$

......può darsi che ci si faccia qualcosa: per esempio, a^2 è la somma dei primi a dispari.....boh, non so se serve, non mi viene altro...
_________________
.....è la somma che fa il totale (Totò)

Ciao

[_Gianfranco]

Ciao a tutti,

Pasquale, buona la tua osservazione: la somma dei primi n numeri dispari è uguale a n^2.

Partiamo dagli interi positivi.

a) ogni quadrato è la somma di una progressione aritmetica (i primi n numeri dispari)

b) ogni potenza pari è un quadrato, perciò ricadiamo nel caso a)

c) ogni potenza dispari è una potenza pari moltiplicata (o divisa per la base), perciò ricadiamo nel caso b)
Basta infatti moltiplicare (o dividere) tutti i temini della successione per la base della potenza.

Esempio:

$2^6 = 8^2 = 1+3+5+7+9+11+13+15$

$2^7 = 2*2^6 = 2+6+10+14+18+26+30$

d) la proprietà si può estendere alle potenze a base razionale perché ogni razionale è un rapporto di due interi (?)

e) si potrà estendere alle basi reali?

f) e se l'esponente non è intero?

Ciao

Gianfranco Bo

[_delfo52]

il problema, come lo affronta Gianfranco, pare risolto...
ma nella sua interpretazione , k non è un numero predefinito, ma "discende" dai termini della potenza da esprimere.
Insomma, il problema diventa qualcosa del tipo:
qualsiasi potenza è esprimibile come somma di addendi equidistanti tra loro

Che il problema debba essere letto così, forse lo potevo capire prima: in forma troppo allargata e generica, è manifestamente impossibile............
(metto i puntini, per dare agio a qualcuno di riallacciarsi alle puntate precedenti)
_________________
Enrico
(E' la divergenza di opinioni che rende possibili, e interessanti, le corse di cavalli-M.Twain)

[_Ospite]

Ciao Enrico,

...se ho trovato una progressione aritmetica di n termini, posso "trasformarla" in una progressione di k termini...


Gianfranco Bo

[_delfo52]

se ci poniamo il limite di usare solo numeri interi positivi, non sempre è facile....
_________________
Enrico
(E' la divergenza di opinioni che rende possibili, e interessanti, le corse di cavalli-M.Twain)

[_Gianfranco]

Chiedo scusa, Enrico, in effetti, nel mio ultimo post non ho scritto e non intendevo "interi".
Però possiamo riformulare il problema in forma più allargata......

Bruno, nel problema originale che cosa è k: un numero assegnato o un numero da trovare in funzione di a, m?

...o si intende: per ogni m esiste un k tale che...

Ciao
Gianfranco

[_leandro]

Faccio le seguenti considerazioni (non so quante valide).
Sian x e d il primo termine e la ragione della progressione da individuare.
Per note formule deve essere:
$a^m=\left(\frac{x+x+d(k-1)}{2} \right )k$
da cui si ricava:
$x=\frac{a^m}{k}-\frac{1}{2}d(k-1)$
Ne deriva che affinche' il problema sia possibile non tutti i dati possono
essere arbitrari.In particolare occorre che sia:
$k \geq 3, \frac{k}{2}d(k-1)<a^m$ ed inoltre $k|a,2|d(k-1)$
Per esempio se si sceglie : a=8,m=3,d=6,k=4 risulta x=119 e dunque:
$8^3=119+125+131+137$
Certo in questo modo il problema si particolarizza ma personalmente non
vedo sbocchi migliori.
Leandro

[_Bruno]

...

Secondo me, Leandro, non sei affatto lontano da un inquadramento più
generale del problema.
Penso che per questa via non si particolarizzi la questione, anzi: è forse
possibile definirne i confini.
Naturalmente, questo è solo il mio punto di vista...
(Mi dispiace aver perso l'intervento inviato da Gianfranco prima del
recente 'guasto' al forum: sarà possibile reinserirlo qui?)


_________________
Invisibile un vento / l'ha apena sfioragia / sospension d'un momento; /
e la bola iridessente gera 'ndagia. (Biagio Marin)

[Admin]

Ho reinserito anche gli interventi di Gianfranco;
purtroppo per far ciò ho dovuto inserire gli ultimi due interventi, di Leandro e Bruno, sotto forma di recupero.

x Bruno

con Peppe sul forum, non si perde niente!

Fine recupero.