BASE CINQUE FORUM

In un triangolo acutangolo con angoli a,b,c, si ha che a <= b <= c.
Determinare per quali a,b,c è massimo il prodotto tang(a)cos(b)sen(c).

di prima impressione, mi viene da pensare che, onde evitare danni dalla tangente di a, che deve essere l'angolo più piccolo, e cercando di sfruttarne la rapida tendenza all'incremento, sa cosa buona e giusta avere l'angolo a più grande possibile.
pertanto propongo, alla cieca, 61-60-59 ( o meglio ancora 60°0'1"-60°-59°59'59")

Allora perché non 60-60-60 ? Però dai miei calcoli, se esatti, non risulta così.

non avevo visto "uguale"...

Uffa, non viene.
Allora, siccome la somma degli angoli interni (bla bla) è pi, ho posto c=pi-(a+b)
Ma poichè il seno è lo stesso per angoli supplementari, allora si tratta di massimizzare la funzione z=tg(x)cos(y)sen(x+y).

Mi sono fatta le mie belle derivate parziali, le ho poste =0 e mi sono ritrovata con un y=pi/4 -x/2, che risostituito mi dà una x non accettabile con le condizioni del problema.

bah. bah. megabah.

Ho agito anch'io nello stesso identico modo... a parte che ho fatto fare il tutto a Maple.

Anche Maple non trova una soluzione accettabile....

alle 2.34 am non mi metto a fare il conto ma.... la funzione vincolata / ristretta avra' presumibilmente un max o sup sulla frontiera... che quindi non trovi mettendo a zero le derivate parziali...
La funzione f(x, y) va studiata nella regione che soddisfa tutte le seguenti
x<=y<=pi -x -y
0<=x<pi /2
0 <= y < pi/2
si tratta di un triangolo come potete vedere
secondo me il max sta nel vertice del triangolo....

In realtà ho posto:

b = kb * c
a = ka * b = ka * kb * c

dove ka e kb variano tra 0 e 1. In questo modo avevo maggiormente il controllo della condizione data dalla disuguaglianza iniziale.

Tanto i conti li faceva Maple.... cmq niente...

In effetti facendo un plot 3D il max veniva sulla frontiera... ma non ricordo assolutamente perchè se il max è sulla frontiera non lo trovo con le derivate parziali!

Le derivate parziali nulle ti dicono che c'e' un iperpiano tangente orizzontale (se esiste l'iperpiano tangente)
la funzione e' bella e non da' problemi in questo senso, ma l'esistenza di vincoli che restringono il dominio di per se stessa fa si' che ci siano punti di max e min che non hanno iperpiano tg orizzontale
vedila cosi': prendi ad es f(x, y)= x vincolata a 0<=x<=1 e 0<=y<=1 .....
chiaramente ha sempre iperpiano tg lo stesso, ma ha certamente un bel max ben fatto.
Anche a funzioni di una variabile fa lo stesso scherzo, ma la complessita dei domini di forme strane in 2 dim e oltre e' piacevole e divertente

p.s. Dal momento che la funzione e' liscia e bella, dal momento che matemamma ha gia' calcolato le derivate parziali e non ha trovato soluzione, si puo' agire cosi': si prendono le tre funzioni di una variabile che limitano il dominio (anzi due perche' quella con x=0 sempre zero da'), si calcola il max di quelle funzioni di una variabile sull'intervallo x compresa tra 0 e pigreco/terzi (se il vertice e' x=pi /3 come mi sembra). Si confrontano i due valori, il max e' quello buono

perchè se il max è sulla frontiera non lo trovo con le derivate parziali!

Spero di averti convinto che le derivate parziali non sono una buona strategia sulla frontiera con l'esempio precedente f(x, y)=x sul quadrato [0,1]x[0,1] Adesso provo a convincerti del perche' questo succede. La condizione di estremo locale, per funzioni continue, derivabili, e differenziabili (che quindi ammettono iperpiano tangente determinato dal vettore con le due derivate parziali traslato nel punto) sappiamo che e' quella che entrambe le derivate siano nulle. Questo significa che, per ogni punto di un intorno sufficientemente piccolo (condizione di "estremo locale"; per avere il max o il min su tutto il dominio e' sempre necessario il confronto, ovvero prendere il max o il min dell'insieme di tutti i max o min locali) per ogni punto dell'intorno, il valore della funzione nel punto e' sempre minore del valore nel max locale (risp. maggiore del valore del min locale). Supponiamo, a proposito, di aver controllato che nell'intorno il segno delle derivate sia sempre lo stesso, cosi' da escludere i punti di flesso, di sella, e compagnia. Bene. Che cos'e' un intorno? Se nel punto interno al dominio la sferetta o il quadratino soliti andranno benissimo.... capirai che in un punto di frontiera un intorno e' fatto in maniera un po' piu' sofisticata.
Ciao, vado a dormire, spero di essermi spiegazzata
d.

Daniela ha scritto:Le derivate parziali nulle ti dicono che c'e' un iperpiano tangente orizzontale (se esiste l'iperpiano tangente)
la funzione e' bella e non da' problemi in questo senso, ma l'esistenza di vincoli che restringono il dominio di per se stessa fa si' che ci siano punti di max e min che non hanno iperpiano tg orizzontale
vedila cosi': prendi ad es f(x, y)= x vincolata a 0<=x<=1 e 0<=y<=1 .....
chiaramente ha sempre iperpiano tg lo stesso, ma ha certamente un bel max ben fatto.
Anche a funzioni di una variabile fa lo stesso scherzo, ma la complessita dei domini di forme strane in 2 dim e oltre e' piacevole e divertente

Giusto, è vero!

Abbandonati carta, penna e calamaro (a dir la verità ho usato la funzione per scopo personale _tanto è di moda_ e gliel'ho anche appioppata di compito a una fanciulla da derivare parzialmente) l'ho plottata 3d col mio misero derive anteguerra e la frontiera funziona... è che da pessima mathmum non l'avevo considerata grazie al seguente stolto ragionamento: "la funz è sempre positiva all'interno della regione e si annulla sul bordo, quindi il max deve essere dentro" manonèmicaverochesiannullasulbordo... shame shame shame on me (daniela sto facendo anche il gesto col ditino come i piccoli americanini)

... e così completo l'opera delle pessime battute:
Un analista matematico al ristorante: “Cameriere l’insalata la voglio con l’aceto”. La moglie: “Vedo che non hai smesso il vizio di imporre sempre condizioni al contorno!”