BASE CINQUE FORUM

Perché il prodotto di 5 interi consecutivi non può essere mai un quadrato perfetto?

Rettifico:

per m>0 e intero, m(m+1)(m+2)(m+3)(m+4) non è mai un quadrato perfetto: perché?

Prima considerazione: dobbiamo escludere il prodotto 0*1*2*3*4=0 che è un quadrato perfetto.
Adesso inizio a pensare al "problema vero", chissà se salta fuori qualcosa di meno banale...

passando a cinquine senza lo zero, faccio un altro piccolo passo (per me; ma un grande balzo per l'umanità) ed esprimo il tutto in funzione del numero mediano, che chiameremo x (la fantasia galoppa!)
il prodotto del secondo per il quarto è pari a "x al quadrato meno 1"
e il prodotto dei due numeri estremi è "x al quadrato meno 4"
Il prodotto dei cinque fattori è perciò
x * (x^2 - 1) * (x^2 - 4)

a voi!

Io stavo pensando invece alla fattorizzazione, nel senso che ho considerato $x_1x_2x_3x_4x_5=n^2$: allora uno degli $x_i$ è multiplo di un numero primo $\alpha$, eventualmente elevato ad una certa potenza, e $\alpha$ può essere solo 2, 3 o 5...

chiedo scusa per il commento "meta-matematico":
mim piacciono moltissimo i topics in cui si spiega, o si cerca di spiegare, il ragionamento che facciamo, o che cerchiamo di fare.
Credo che, specie per chi ha responsabilità "docenti" sia assai utile trovarsi di fronte a metodi, vie e sistemi "diversi" di aggredire uno stesso quesito.
Ricordo come fosse 44 o 45 anni fa, quando alle elementari mi trovavo a risolvere problemi del tipo: La mamma divide 50 caramelle tra Antonio e Beatrice, in modo che A. ne abbia 16 più di B. Quante caramelle spettano (?) ad Antonio?
Il mio procedimento seguiva questo iter: Se A deve averne 16 più di B, significa che, rispetto alla soluzione "equa" lui ne avrà la metà di 16 in più e B la metà di 16 in meno.
Facevo quindi 50/2 = 25
e 16/2 = 8
per poi aggiungere o togliere 8 al 25
La maestra cercava di insegnarci un altro sistema:
mettiamo da parte le 16, che ci penseremo dopo
dividiamo le restanti 34 in due parti = 17
adesso a B diamo solo queste 17, mentre ad A ne diamo 17 + le 16 messe da parte.

Io ero pronto, su questa faccenda, a far partire il '68 con dieci anni di anticipo, ma fu mia madre che mi fece capire che anche se tutti i sistemi possono essere giusti, alcuni possono risultare più pratici, e soprattutto più universali. Nel tipo di problema in questione, il metodo della maestra era forse più comodo, quando i pretendenti alle caramelle erano più di due....

Ho dovuto piantar lì il problema perchè il seienne sta facendo i compiti e, pur di essere REITERATAMENTE ROMPINO come al solito, ogni 3 secondi mi chiede se un camioncino può essere verde chiarissimo, oppure rosa a pallini, e via così... (ne deve colorare una trentina...).
Così, prima di chiudere e passare al controllo dei "plurali di ce e ci", ti lascio un commentuccio, delfo.

Anche a me piacerebbe molto vedere il _work in progress_ dei quesiti del forum, perchè aiuta a pensare e a confrontarsi con metodi diversi, proprio come te con le caramelle (mannaggia, la tua mamma avrà avuto un bel daffare con uno come te ....), oppure invece di far apparire soluzioni mirabolanti compattate in una sola enorme formula non spiegata.

Purtroppo però i tempi spesso non coincidono, quindi (a meno di non dotarci di ricetrasmittenti ) a volte quando riesco ad avere un momento per leggermi un topic su cui stavo ragionando c'è già la soluzione....

E tanto per riparlare di bimbi (ohimè, cuore di mathmum) per ben DUE giorni il mio bimbo ogni tanto saltava fuori con "lo sai che la macchina del papà è bluastra?" e io "perchè, a me sembra proprio blu". Ieri me lo avrà detto almeno 6 o 7 volte. Vabbè, ho pensato io, a scuola stanno parlando di colori ... bah.
Stamattina, prima cosa appena si sveglia "Hai capito perchè la macchina del papà è bluastra?" e io "No, me lo dici?" e lui "Lo sapevo che non lo capivi, è perchè è BLU ed è un'ASTRA!". 6 anni, due giorni di stress (vabbè per modo di dire).
Allora io l'ho fregato e gli ho scritto su un foglio: "Io dico sempre le bugie. Io sono bella. Allora, come sono io, bella o brutta?" E gli ho disegnato i due quadratini per la risposta, lui dovrà mettere la x sulla risposta giusta. Ogni tanto prende il foglio, dice "sei bella, no ma tu dici le bugie, sei brutta UFFA MAMMA sono tutto ingarbugliato!"
hahahahahaha

avrà avuto dei problemi mia mamma (eravamo in 3+1 figli), ma penso che tuo figlio non stia meglio....con una mum come te !
Vedi come se la cava col caso del barbiere che radeva tutti quelli che non si radevano da soli....

tornando al caso proposto, ho notato (e non me ne ero mai accorto) che:
-la quinta potenza di un numero termina con la stessa cifra della base di partenza
-qualsiasi quintuplo di un cubo, termina per zero o per cinque ( a seconda che la cifra finale della base sia pari o dispari)

dopo aver "scoperto" con tortuosissimo percorso mentale, che il prodotto finisce sempre per zero (che cioè è multiplo di 10), ho visto che con molta meno fatica che è ovviamente sempre anche multiplo di 20.
In una sequenza di cinque consecutivi, abbiamo per forza almeno un multiplo di 5 e almeno due multipli di 2 !
Quanta fatica per nulla........
forse il problema può essere ridotto alla dimostrazione che non esistono soluzioni intere per "radice di 20n"
o forse no !

A me verrebbe invece da andare a studiare se e quando e come i fattoriali sono delle potenze di interi, perche' quella cosa e' un fattoriale diviso lo stesso per n-5.

mi sono subito reso conto che la mia pensata è una stupidaggine;
pardon!

Continuando indefessa (...) sulla fattorizzazione, che ancora non so se mi porterà all'incasinamento totale, direi che se il prodotto è un quadrato perfetto dobbiamo aspettarci una sua fattorizzazione con un numero dispari di divisori primi

(perchè se $n\in N$ e $d$ è un suo divisore, allora anche $\frac{n}{d}$ è divisore, quindi i divisori di $n$ sono in numero pari tranne quando un divisore $d$ è t.c. $d=\frac{n}{d}$ cioè $n=d^2$)

e direi anche che ho scritto una cavolata nel mio altro post, perchè il prodotto ammette anche divisori >5...
... ora sto cercando di valutare se il fatto che la distanza massima (4) tra i termini del prodotto abbia un senso o no nella fattorizzazione.

delfo, daniela et al., qualche illuminazione?

_pausa pranzo, pomeriggio superincasinato, ci si risente domani_ciao

altre considerazioni:
1. ogni numero primo >=5 può dividere solo uno dei fattori perchè la distanza massima tra i termini del prodotto è 4
2. il prodotto non può contenere due quadrati perfetti perchè, sempre per il motivo precedente i due fattori potrebbero essere solo 1 e 4, ma la stringa 1x2x3x4x5=120 non è un quadrato perfetto

Mi sa che il primo suggerimento di Delfo, in cui x>2, da qualche parte dovrebbe condurre.

mathmum ha scritto:Io stavo pensando invece alla fattorizzazione, nel senso che ho considerato $x_1x_2x_3x_4x_5=n^2$: allora uno degli $x_i$ è multiplo di un numero primo $\alpha$, eventualmente elevato ad una certa potenza, e $\alpha$ può essere solo 2, 3 o 5...

altre considerazioni:
ogni numero primo >=5 può dividere solo uno dei fattori perchè la distanza massima tra i termini del prodotto è 4

scusate l'autoreferenza.... riparto da qui.

A questo punto posso dire che conta solo considerare le fattorizzazioni di base 2 e 3. Allora ci ritroviamo con cinque numeri consecutivi che devono necessariamente avere una fattorizzazione che presenta:
(a) 2 e 3 aventi entrambi potenza pari -> sono quadrati
(b) 2 con potenza dispari e 3 con potenza pari ->doppio di un quadrato
(c) 2 con potenza pari e 3 con potenza dispari ->triplo di un quadrato
(d) 2 e 3 aventi entrambi potenza dispari -> sestuplo di un quadrato

Ho quindi 5 numeri da sistemare in 4 posti. Base cinque mi dice http://utenti.quipo.it/base5/combinator ... ionaia.htm che "Se n oggetti sono collocati in k cassetti, e se n>k, allora almeno un cassetto deve contenere almeno due oggetti.
Esempio.
Se ci sono 8 piccioni in 7 caselle, allora, poiché 8 > 7, almeno una casella contiene almeno 2 piccioni."
E quindi almeno due dei fattori devono stare nello stesso gruppo, tra (a), (b), (c), (d). Poichè però la distanza massima tra due fattori è 4, due fattori possono stare solo in (a), quindi devono essere quadrati perfetti, cosa che si verifica solo con 1 e 4, unici quadrati che distano meno di 4, quindi l'unico prodotto valido è 1*2*3*4*5 che vale 120 e non è un quadrato perfetto.