Ancora geometria...

[panurgo]

Per prima cosa, tracciamo in ${\text A}$ e ${\text B}$ due segmenti perpendicolari a $\overline {\text AB}$

Dato il segmento $\overline {\text AB}$



si segna sul prolungamento del segmento il punto ${\text B}^{\script {\prime}}$



e il punto ${\text B}^{\script {\prime \prime}}$



Si posiziona quindi la riga in modo che sia tangente ai punti ${\text B}$ e ${\text B}^{\script {\prime \prime}}$ e si segnano le rette passanti per i due punti (l'angolo è di 30°).



Si posiziona quindi la riga sulla retta passante per ${\text B}$ e si traccia la parallela



Si ripete l'operazione inclinando la riga nell'altro verso: le rette passanti per i due punti



e la parallela



Le intersezioni delle rette parallele con quelle passanti per ${\text B}^{\script {\prime \prime}}$ determinano il segmento perpendicolare $\overline {{\text CC}^{\script {\prime}}}$



Ripetendo l'operazione all'altro estremo, si ottiene la nostra "macchina frazionatrice"



Tracciamo ora le diagonali dei rettangoli ${\text ABCD}$ e ${\text ABC}^{\script {\prime}} {\text D}^{\script {\prime}}$



I punti ${\text E}$ e ${\text F}$ individuano una retta che biseca il segmento $\overline {\text AB}$.



per provarlo consideriamo la figura seguente



Talete ci insegna che

$\frac{x} {{a - x}} = \frac{{a - x}} {x}$

da cui

$x^2 = \left( {a - x} \right)^2 \quad \Leftrightarrow \quad x = \frac{a} {2}$

Il passo successivo consiste nel tracciare una diagonale per ciascuno dei rettangoli ${\text APGD}$ e ${\text APG}^{\script {\prime}} {\text D}^{\script {\prime}}$



I punti ${\text H}$ e ${\text I}$ individuano una retta che triseca il segmento $\overline {\text AB}$.



Dimostrazione



Sempre con Talete

$\frac {x} {a - x} = \frac {b - x} {x} \quad \Leftrightarrow \quad x = \frac {ab} {a + b} \quad \Leftrightarrow \quad x = \frac {b \left/ a \right.} {1 + b \left/ a \right.} a$

ma noi sappiamo dalla dimostrazione precedente che

$\frac {b} {a} = \frac {1} {2}$

e quindi

$x = \frac {1 \left/ 2 \right.} {1 + 1 \left/ 2 \right.} a = \frac {1} {3} a$

E' a questo punto evidente che, con un'adeguata scelta di $a$ e di $b$ è possibile ottenere qualunque frazione.

C'è però un problema: dalle figure precedenti dovrebbe essere evidente che, per ottenere $\frac{p} {q} > \frac{1} {2}$ serve $b > a$.

Per ovviare a tale problema basta tener conto della simmetria della figura: infatti, $\frac p q$ da sinistra è uguale a $\frac {q - p} q$ da destra ed è sufficiente tracciare le diagonali per ${\text B}$.



Ponendo per semplicità $\overline {{\text AB}} = a = 1$ e partendo da una frazione (propria) $\frac p q$ si ha dunque

$b = \left\{ {\begin{array} {ccc} {\left| {\frac{p} {{q - p}}} \right.} \hfill & \Leftrightarrow \hfill & {\frac{p} {q} 2} \hfill \\\end{array}} \right.$

dove la barra verticale indica la direzione della diagonale. Vediamo a rovescio la sequenza di diagonali da tracciare per ottenere $\frac {13} {17}$

$\left| {\frac {13} {17}} \right. \equiv \left. {\frac{4} {17}} \right| \; \leftarrow \left( 6 \right) \; \left. {\frac {4} {13}} \right| \; \leftarrow \left( 5 \right) \; \left. {\frac {4} {9}} \right| \; \leftarrow \left( 4 \right) \; \left. {\frac {4} {5}} \right| \equiv \left| {\frac {1} {5}} \right. \; \leftarrow \left( 3 \right) \; \left| {\frac {1} {4}} \right. \; \leftarrow \left( 2 \right) \; \left| {\frac {1} {3}} \right. \; \leftarrow \left( 1 \right) \;\left| {\frac {1} {2}} \right.$

e la sua realizzazione



Altro esempio con $\frac {11} {18}$: sequenza

$\left| {\frac {11} {18}} \right. \equiv \left. {\frac {7} {18}} \right| \; \leftarrow \left( 5 \right) \; \left. {\frac {7} {11}} \right| \; \equiv \left| {\frac {4} {11}} \right. \; \leftarrow \left( 4 \right) \; \left| {\frac {4} {7}} \right. \equiv \left. {\frac {3} {7}} \right| \; \leftarrow \left( 3 \right) \; \left. {\frac {3} {4}} \right| \equiv \; \left| {\frac {1} {4}} \right. \; \leftarrow \left( 2 \right) \; \left| {\frac {1} {3}} \right. \; \leftarrow \left( 1 \right) \; \left| {\frac {1} {2}} \right.$

realizzazione



Altro esempio con $\frac {47} {97}$: sequenza

$\left| {\frac {47} {97}} \right. \; \leftarrow \left( 18 \right) \; \left| {\frac {47} {50}} \right. \equiv \left. {\frac {3} {50}} \right| \; \leftarrow \left( 17 \right) \; \left. {\frac {3} {47}} \right| \; \leftarrow \left( 16 \right) \; \left. {\frac {3} {44}} \right| \; \leftarrow \left( 15 \right) \; \left. {\frac {3} {41}} \right| \; \leftarrow \left( 14 \right) \; \left. {\frac {3} {38}} \right| \; \leftarrow \left( 13 \right) \; \\ \quad \left. {\frac {3} {35}} \right| \; \leftarrow \left( 12\right) \; \left. {\frac {3} {32}} \right| \; \leftarrow \left( 11 \right) \; \left. {\frac {3} {29}} \right| \; \leftarrow \left( 10 \right) \; \left. {\frac {3} {26}} \right| \; \leftarrow \left( 9 \right) \; \left. {\frac {3} {23}} \right| \; \leftarrow \left( 8 \right) \; \left. {\frac {3} {20}} \right| \; \leftarrow \left( 7 \right) \; \\ \quad \left. {\frac {3} {17}} \right| \; \leftarrow \left( 6 \right) \; \left. {\frac {3} {14}} \right| \; \leftarrow \left( 5 \right) \; \left. {\frac {3} {11}} \right| \; \leftarrow \left( 4 \right) \; \left. {\frac {3} {8}} \right| \; \leftarrow \left( 3 \right) \; \left. {\frac {3} {5}} \right| \equiv \left| {\frac {2} {5}} \right. \; \leftarrow \left( 2 \right) \; \left| {\frac {2} {3}} \right. \equiv \left. {\frac {1} {3}} \right| \; \leftarrow \left( 1\right) \; \left. {\frac {1} {2}} \right| \hfill$

realizzazione



Cheese!

[Info]

Bella dimostrazione Pan... niente da dire

Ciao by Info

[Bruno]

...

Bellissimo, Panurgo!
Considerata la limitatezza dello strumento, la tua soluzione è molto snella!


Bruno




(Ho deciso di cancellare l'accenno al mio procedimento perché la descrizione a parole, di fatto,
non permetteva di capire nulla, e per ora non sono in grado di fare tutti i disegni necessari.)

[Pasquale]

Incredibile...ho appena dato uno sguardo e devo ancora studiare la cosa.
Commenti: !!!!!!!!!!

[mathmum]

wow!
(forse è meglio che cambio mestiere.... )

[peppe]

Il giorno in cui dovessi (ma non ci spero),riuscire a capire come CAVOLO FRATTALE fai, mi riterrò un uomo fortunato!
Complimeti!!!

[panurgo]

Il giorno in cui dovessi (ma non ci spero),riuscire a capire come CAVOLO FRATTALE fai, mi riterrò un uomo fortunato

Ho solo portato un po' più avanti ciò che ho trovato qui http://www.rudimathematici.com/indexmundi.htm combinandolo con la scelta di uno strumento limitato sì ma che consente (come, non ho la più pallida idea) di fare tutte le costruzioni che si possono fare con riga e compasso (cfr. Ghersi e riferimenti ivi contenuti). La più grande fatica è stata scoprire come innalzare la perpendicolare all'estremo del segmento.

wow!
(forse è meglio che cambio mestiere.... )

Perché, sei geometra? ...o meglio: ma va là!

Invece, qualcuno mi sa dire come diavolo ( ) si fa a innalzare una perpendicolare ad una retta da un punto dato con la riga a due bordi?

[panurgo]

Invece, qualcuno mi sa dire come diavolo ( ) si fa a innalzare una perpendicolare ad una retta da un punto dato con la riga a due bordi?

Sono dati un punto ${\text P}$ e una retta



Si fissa un punto ${\text A}$ arbitrario sulla retta



Si riportano i punti ${\tex B}$



e ${\text C}$



Si posiziona la riga in modo che sia tangente ai punti ${\text A}$ e ${\text C}$ e si tracciano le rette passanti per i punti



Si ripete il procedimento inclinando la riga dall'altra parte



Si traccia la retta $\overline {{\text DD}^{\script \prime}}$ essendo ${\text D}$ e ${\text D}^{\script \prime}$ le intersezioni delle quattro rette.



Sulla perpendicolare si riportano i punti ${\text E}$



ed ${\text E}^{\script \prime}$



Tracciando la retta $\overline {\text PD}$ si individua il punto ${\text F}$



Tracciando la retta $\overline {\text PE}$ si individua il punto ${\text G}$



Si traccia la retta $\overline {{\text GE}^{\script \prime}}$



Tracciando la retta $\overline {{\text FD}^{\script \prime}}$ si individua il punto ${\text P}^{\script \prime}$, immagine di ${\text P}$



Non resta, a questo punto, che tracciare la retta $\overline {{\text PP}^{\script \prime}}$, perpendicolare per ${\text P}$ alla retta data



Re-cheese

P.S.: iniziato in pausa pranzo, finito in pausa caffè (ho avuto l'illuminazione)

[Info]

Sapevo un'altra costruzione di una retta perpendicolare ad una data, per un punto p non giacente su una circonferenza che abbia per diamentro un suo segmento (ottenibile anche senza compasso, tipo dal fondo di un bicchiere...

chiamo a e b i limiti del segmento, tiro per a e per b dei segmenti di retta che passino per il punto p, individuate le intersezioni di tali rette con la circonferenza, vi tiro delle rette che passino sempre per a e per b, l'incrocio di queste due rette individua il punto che unito con p mi da la perpendicolare.

A proposito, qualcuno sa dimostrare perchè la retta così individuata è perpendicolare ad ab??

Ciao by Info

[Pasquale]

Non avevo avuto più modo di leggere queste pagine ed il mio commento è: GULP!