combinazioni
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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combinazioni
verificare che $\displaystyle {{n \choose 2}\choose2}=3{n+1\choose4}$
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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E' la somma che fa il totale (Totò)
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$\displaystyle {{n \choose 2}\choose2}= \frac{{n \choose 2}!}{2!\left ({n \choose 2}-2\right )!}=\frac{\left (\frac{n!}{2!(n-2)!}\right )!}{2!\left (\frac{n!}{2!(n-2)!}-2 \right )!}=\frac{\left (\frac{n(n-1)}{2}\right )!}{2\left (\frac{n(n-1)}{2}-2 \right )!}=\frac{\frac{n(n-1)}{2}\cdot \left ( \frac{n(n-1)}{2}-1\right )}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\cdot \left ( \frac{n^2-n-2)}{2}\right )\cdot \frac{1}{2}=\\ \frac{n(n-1)}{2}\cdot \left ( \frac{(n+1)(n-2)}{2}\right )\cdot \frac{1}{2}= =\frac{(n+1)(n)(n-1)(n-2)}{8}$
ora
$(n+1)(n)(n-1)(n-2)=\frac{(n+1)!}{(n-3)!}$
e
$8=\frac{4!}{3}$
Per cui sostituendo si ottiene, continuando da sopra:
$\frac{(n+1)(n)(n-1)(n-2)}{8}=3\cdot \frac{(n+1)!}{4!}=\displaystyle {n+1 \choose 4}$
Admin
ora
$(n+1)(n)(n-1)(n-2)=\frac{(n+1)!}{(n-3)!}$
e
$8=\frac{4!}{3}$
Per cui sostituendo si ottiene, continuando da sopra:
$\frac{(n+1)(n)(n-1)(n-2)}{8}=3\cdot \frac{(n+1)!}{4!}=\displaystyle {n+1 \choose 4}$
Admin
Ultima modifica di Admin il mar gen 31, 2006 6:51 pm, modificato 1 volta in totale.
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net
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Bene Pietro, era un pezzetto che non ti si sentiva: alla fine per la fretta hai saltato qualche termine, ma dalle premesse si capisce lo stesso.
Stavolta ho risolto il quesito prima di postarlo, per cui riporto la mia soluzione, che consiste nel procedimento inverso rispetto al tuo:
Ponendo $\displaystyle {n\choose2} = \frac {n(n-1)}{2}= k$, deve essere $3{n+1\choose4} = {k\choose2}$
$3{n+1\choose4} = 3\frac{(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)!}{4\cdot3\cdot2(n+1-4)!} = k\frac{(n+1)(n-2)}{4} = k\frac{(n^2-n-2)}{4} = k\frac{n(n-1)-2}{4} = k\frac{2k-2}{4} = \frac{k}{2}(k-1) = {k\choose2}$
Stavolta ho risolto il quesito prima di postarlo, per cui riporto la mia soluzione, che consiste nel procedimento inverso rispetto al tuo:
Ponendo $\displaystyle {n\choose2} = \frac {n(n-1)}{2}= k$, deve essere $3{n+1\choose4} = {k\choose2}$
$3{n+1\choose4} = 3\frac{(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)!}{4\cdot3\cdot2(n+1-4)!} = k\frac{(n+1)(n-2)}{4} = k\frac{(n^2-n-2)}{4} = k\frac{n(n-1)-2}{4} = k\frac{2k-2}{4} = \frac{k}{2}(k-1) = {k\choose2}$
Ultima modifica di Pasquale il sab gen 28, 2006 4:58 pm, modificato 1 volta in totale.
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Bene, ho scoperto che il left ed il right si possono anche omettere, limitandosi allo slash ed alla parentesi che interessa:
$\[\frac {\frac{2a}{2a}}{\frac{2a}{2a}}\]$
$\(\frac {\frac{2a}{2a}}{\frac{2a}{2a}}\)$
$\{\frac {\frac{2a}{2a}}{\frac{2a)}{2a}}\}$
A proposito........quanto fa l'operazione in parentesi?
$\[\frac {\frac{2a}{2a}}{\frac{2a}{2a}}\]$
$\(\frac {\frac{2a}{2a}}{\frac{2a}{2a}}\)$
$\{\frac {\frac{2a}{2a}}{\frac{2a)}{2a}}\}$
A proposito........quanto fa l'operazione in parentesi?
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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