combinazioni

[Pasquale]

verificare che $\displaystyle {{n \choose 2}\choose2}=3{n+1\choose4}$

[Admin]

$\displaystyle {{n \choose 2}\choose2}= \frac{{n \choose 2}!}{2!\left ({n \choose 2}-2\right )!}=\frac{\left (\frac{n!}{2!(n-2)!}\right )!}{2!\left (\frac{n!}{2!(n-2)!}-2 \right )!}=\frac{\left (\frac{n(n-1)}{2}\right )!}{2\left (\frac{n(n-1)}{2}-2 \right )!}=\frac{\frac{n(n-1)}{2}\cdot \left ( \frac{n(n-1)}{2}-1\right )}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\cdot \left ( \frac{n^2-n-2)}{2}\right )\cdot \frac{1}{2}=\\ \frac{n(n-1)}{2}\cdot \left ( \frac{(n+1)(n-2)}{2}\right )\cdot \frac{1}{2}= =\frac{(n+1)(n)(n-1)(n-2)}{8}$

ora

$(n+1)(n)(n-1)(n-2)=\frac{(n+1)!}{(n-3)!}$

e

$8=\frac{4!}{3}$

Per cui sostituendo si ottiene, continuando da sopra:

$\frac{(n+1)(n)(n-1)(n-2)}{8}=3\cdot \frac{(n+1)!}{4!}=\displaystyle {n+1 \choose 4}$

Admin

[Pasquale]

Bene Pietro, era un pezzetto che non ti si sentiva: alla fine per la fretta hai saltato qualche termine, ma dalle premesse si capisce lo stesso.

Stavolta ho risolto il quesito prima di postarlo, per cui riporto la mia soluzione, che consiste nel procedimento inverso rispetto al tuo:

Ponendo $\displaystyle {n\choose2} = \frac {n(n-1)}{2}= k$, deve essere $3{n+1\choose4} = {k\choose2}$


$3{n+1\choose4} = 3\frac{(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)!}{4\cdot3\cdot2(n+1-4)!} = k\frac{(n+1)(n-2)}{4} = k\frac{(n^2-n-2)}{4} = k\frac{n(n-1)-2}{4} = k\frac{2k-2}{4} = \frac{k}{2}(k-1) = {k\choose2}$

[Bruno]

...

Pasquale, ciao. M'inserisco un attimo per le parentesi quadre.
Io farei così:

$\displaystyle \left[\frac {n+1}{2}\right]$.

Praticamente ho scritto:
\left
e
\right
prima di battere (rispettivamente) la parentesi aperta e quella
chiusa. (Questo vale anche per gli altri tipi di parentesi.)


Bruno

[Pasquale]

Ciao Bruno, ho cancellato la domanda, perché nel frattempo avevo risolto, ma poi ho visto che avevi risposto, per cui grazie (avevo risolto in altro modo più complicato: \begin{bmatrix}......\end{bmatrix})

[Pasquale]

Bene, ho scoperto che il left ed il right si possono anche omettere, limitandosi allo slash ed alla parentesi che interessa:


$\[\frac {\frac{2a}{2a}}{\frac{2a}{2a}}\]$



$\(\frac {\frac{2a}{2a}}{\frac{2a}{2a}}\)$



$\{\frac {\frac{2a}{2a}}{\frac{2a)}{2a}}\}$


A proposito........quanto fa l'operazione in parentesi?