Ci viene data una successione di numeri interi $\displaystyle \, {\tex\footnotesize (a_n)}$:
$\displaystyle -4,\,3,\,-1,\,2,\,1,\,3,\,4,\,7,\,11,\,18, \,\,$ etc.
(dove $\displaystyle {\text \footnotesize -4=a_1,\,3=a_2}$ e così via). Indovinata questa
(direi quasi a colpo d'occhio), troviamo una seconda
sequenza:
la prima mi pare facilissima, 29 e' la successiva direi e 47 quella dopo
la seconda c'entra con la prima o va risolta in maniera del tutto indipendente?
Sì, Daniela, la seconda ha molto a che fare con la prima (che naturalmente hai
indovinato).
E' un quesito sicuramente inusuale, visto che di solito si dà una successione di numeri
e si chiede di proseguirla, senz'altro aggiungere.
Nel nostro caso, invece, ogni termine della seconda successione ha una relazione
con gli altri elementi della propria sequenza, e questo è normale, ma esiste anche
un collegamento (forte) con i termini della prima.
con la seconda possibilmente da semplificare (è esatta dall'undicesimo termine in poi).
Anche per la seconda serie (la b(n)) il rapporto tra due termini consecutivi tende al famoso 0.618033988749894848........ ma molto più lentamente delle sequenze di Lucas o Fibonacci,
infatti per n=50.000 il rapporto b(n)/b(n+1) vale circa 0.618021627917331557.........
Bruno, grazie alla tua riiscrizione in Tex delle mie formule mi accorgo che ho dimenticato delle parentesi: n moltiplica tutte e due i primi termini e il quarto termine ha il segno meno davanti e non il +
La prima era molto semplice. La seconda, decisamente meno.
Peraltro, ho trovato davvero interessanti le valutazioni di CID ed Edmund
sulla determinazione della seconda sequenza.
Per passare dalla prima successione alla seconda si può procedere in questo
modo (come ha messo in evidenza Edmund in un suo post). Scriviamo
intanto i primi numeri naturali:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
Poi riscriviamo i termini della prima serie di numeri:
Bene. Dietro a questo procedimento si nascondono molte proprietà, che ho
incontrato per la prima volta parecchi anni fa. In giro non avevo ancora visto
nulla del genere e ancor oggi mi sembra che si trovi poco.
Il principio è incredibilmente semplice da capire, eppure è ricco di conseguenze
e spesso inaspettate
I valori generati sono tutti i numeri triangolari, non è difficile dimostrarlo.
Se ora applicassimo lo stesso tipo di algoritmo ai numeri triangolari, sempre
partendo dalla sequenza naturale, e cioè:
ossia i cosiddetti numeri piramidali quadrati: queste particolari entità non sono
altro che i primi numeri quadrati "impilati" (1+4=5, 5+9=14, 14+16=30 etc.)
sino a formare delle piramidi.
Sia i numeri triangolari che i numeri appena trovati, però, rappresentano anche
le somme di potenze dei primi numeri naturali. Più precisamente, per i numeri
triangolari abbiamo:
Questo risultato, di per sé, è già affascinante.
Con una stessa operazione, a partire dalla successione dei numeri naturali
si può visualizzare la tabella delle somme di potenze di quegli stessi numeri.
Qualche tempo fa ho trovato una dimostrazione diretta e concettualmente
semplice di ciò (che per il momento ometto).
La tabella appena ottenuta ha indubbiamente delle interessanti proprietà, anche
se è meno "popolare" e quindi trattata di altri schemi numerici (per esempio,
il triangolo di Tartaglia).
Ultima modifica di Bruno il ven feb 03, 2006 11:44 am, modificato 2 volte in totale.
La cosa più interessante, secondo me, è che l'algoritmo che ho appena illustrato
può essere applicato ad altre sequenze di numeri, permettendo così di passare
a tipi di successioni che normalmente non vengono considerate connesse a quelle
di partenza.
Dire, per esempio, che i numeri esagonali hanno qualcosa a che fare con i numeri
piramidali esagonali (sovrapposizione di numeri esagonali) si avvicina quasi alla
banalità.
Se invece dicessimo che i numeri quadrati hanno con i numeri piramidali esagonali
lo stesso tipo di connessione che corre fra i numeri naturali e quelli triangolari, ecco:
quest'affermazione sarebbe sicuramente tutt'altro che ovvia, in qualche modo sarebbe
anzi inaspettata.
Di grande utilità, in questo genere di ricerche, è: "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences", una nutrita raccolta di sequenze
costantemente aggiornata da studiosi di tutto il mondo.
Come suggeriva lo stesso Martin Gardner in uno dei suoi begli articoli, quando
una nostra ricerca ci mette davanti a una sequenza di numeri interi che ci sembra
di non aver mai visto, prima di buttarsi a capofitto in uno studio matto e disperatissimo
è ragionevole dare un'occhiata anche a questa enciclopedia.
Bene, l'argomento dei numeri figurati è stato studiato moltissimo nel tempo, ma ciò non
significa certo che sia stato esplorato tutto... anzi!
Attraverso la ricorsione che ho appena illustrato, molto probabilmente, si possono
svolgere ulteriori e interessanti indagini, e forse... qualche partecipante a questo
forum potrebbe scovare qualcosa di più.
Passo la palla!
Bruno
Ultima modifica di Bruno il mer feb 01, 2006 7:09 pm, modificato 1 volta in totale.
