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proprio non mi viene...

Inviato: gio gen 19, 2006 1:14 pm
da un aiutino
data y=x^3 -3x + 2 si determini l'equazione della retta s per l'origine degli assi che delimita con la curva data e con l'asse y una regione finita di piano, nel secondo quadrante, di area 5/4

grazie :!:

Inviato: gio gen 19, 2006 3:13 pm
da Info
Quindi mi stai chiedendo, qual'è quella b per cui ponendo che la retta sia $b\cdot x$ (passa per l'origine -> q=0) risulta

$\displaystyle \int_0^a(x^3 -3\cdot x + 2)\partial x-\displaystyle \int_0^ab\cdot x \partial x=\frac54$, vero?

se come ho capito è questo che vuoi sapere, ecco.

$\displaystyle \int(x^3 -3\cdot x + 2)\partial x = \frac{x^4}4 - \frac{3\cdot x^2}2 +2\cdot x+c$
$\displaystyle \int b\cdot x\partial x = \frac{b\cdot x^2}2+c$

quindi

$\displaystyle \int_0^a(x^3 -3\cdot x + 2)\partial x=\displaystyle \begin{vmatrix}\frac{x^4}4 - \frac{3\cdot x^2}2 +2\cdot x+c \end{vMatrix}_0^a = \frac{a^4}4 - \frac{3\cdot a^2}2 +2\cdot a$

$\displaystyle \int_0^ab\cdot x\partial x=\displaystyle \begin{vmatrix}\frac{bx^2}2+c\end{vMatrix}_0^a = \frac{a^2\cdot b}2$

tornando alla prima condizione, ho

$\displaystyle \int_0^a(x^3 -3\cdot x + 2)\partial x-\displaystyle \int_0^ab\cdot x \partial x=\frac54=\frac{a^4}4 - \frac{3\cdot a^2}2 +2\cdot a-\frac{a^2\cdot b}2 =\frac{a^4-(6+4\cdot b)\cdot a^2+8\cdot a}4$

quindi

$a^4-(6+4\cdot b)\cdot a^2-5=8\cdot a$

che è nella forma (con le dovute sostituzioni eg. 8*a=r ...)

$a^4-p\cdot a^2+q=r\cdot a$

giusta per trattarla con Cardano

that's all folks' by Info

Inviato: ven gen 20, 2006 6:05 am
da panurgo
Volevo provare a dare un aiutino un po’ più semplice. In primo luogo conviene studiare un po’ la funzione: provando a sostituire i primi valori interi positivi e negativi si trova subito che $1$ è uno zero della funzione

$\displaystyle f\left( 1 \right) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 2 = 0$

Anche se non ci si ricorda la regola di Ruffini si può facilmente scomporre il polinomio ponendo

$\displaystyle x^3 - 3x + 2 = \left( {x^2 + bx + c} \right)\left( {x - 1} \right) = x^3 + \left( {b - 1} \right)x^2 + \left( {c - b} \right)x - c$

e uguagliando i coefficienti delle diverse potenze di $x$

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{c} b - 1 = 0 \\ c - b = - 3 \\ - c = 2 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} b = 1 \\ c = - 2 \\ \end{array} \right.$

per cui è

$\displaystyle x^3 - 3x + 2 = \left( {x^2 + x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)$

Si vede subito che $1$ è una radice doppia, infatti

$\displaystyle 1^2 + 1 - 2 = 0$

e

$\displaystyle x^2 + x - 2 = x^2 - x + 2x - 2 = x\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)$

e quindi

$\displaystyle x^3 - 3x + 2 = \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)^2$

La derivata prima è

$\displaystyle f’\left( x \right) = 3x^2 - 3$

e si annulla per $x = \pm 1$

La derivata seconda è

$\displaystyle f”\left( x \right) = 6x$

e si annulla per $x = 0$.

La funzione ha questa forma

Immagine

Individuiamo un punto $P$ sul ramo della curva nel secondo quadrante, troviamo il punto ${\rm P’}$, proiezione di $P$ sull’asse delle ascisse, e tracciamo la retta $\overline {{\rm OP}}$

Immagine

L’area richiesta dal problema è data dall’area ${\rm OAPP’}$ meno l’area del triangolo ${\rm OPP’}$ che valgono rispettivamente

$\displaystyle A_{{\rm OAPP’}} = \int_x^0 {dtf\left( t \right)} = \left[ {\frac{{t^4 }}{4} - \frac{3}{2}t^2 + 2t} \right]_x^0 = - \frac{{x^4 }}{4} + \frac{3}{2}x^2 - 2x$

e

$\displaystyle A_{\rm T} = \frac{{ - x\,f\left( x \right)}}{2} = - \frac{{x^4 - 3x^2 + 2x}}{2}$

il segno meno perché $x < 0$. Poniamo dunque

$\displaystyle A_{{\rm OAPP’}} - A_{\rm T} = \frac{5}{4}$

$\displaystyle \frac{{x^4 - 3x^2 + 2x}}{2} - \frac{{x^4 }}{4} + \frac{{3x^2 }}{2} - 2x = \frac{5}{4}$

ovvero

$\displaystyle x^4 - 4x - 5 = 0$

Sempre con l’occhio vigile (provando i numeri semplici) si vede che $x = -1$ soddisfa l’equazione: l’equazione della retta cercata è dunque

$\displaystyle y = y_{\rm O} - \frac{{y_{\rm P} - y_{\rm O} }}{{x_{\rm P} - x_{\rm O} }}\left( {x - x_{\rm O} } \right) = - 4x$

grazie

Inviato: ven gen 20, 2006 9:00 am
da un aiutino
grazie a tutti e due! :D