Volevo provare a dare un aiutino un po’ più semplice. In primo luogo conviene studiare un po’ la funzione: provando a sostituire i primi valori interi positivi e negativi si trova subito che $1$ è uno zero della funzione
$\displaystyle f\left( 1 \right) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 2 = 0$
Anche se non ci si ricorda la regola di Ruffini si può facilmente scomporre il polinomio ponendo
$\displaystyle x^3 - 3x + 2 = \left( {x^2 + bx + c} \right)\left( {x - 1} \right) = x^3 + \left( {b - 1} \right)x^2 + \left( {c - b} \right)x - c$
e uguagliando i coefficienti delle diverse potenze di $x$
$\displaystyle \left\{ \begin{array}{c} b - 1 = 0 \\ c - b = - 3 \\ - c = 2 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} b = 1 \\ c = - 2 \\ \end{array} \right.$
per cui è
$\displaystyle x^3 - 3x + 2 = \left( {x^2 + x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)$
Si vede subito che $1$ è una radice doppia, infatti
$\displaystyle 1^2 + 1 - 2 = 0$
e
$\displaystyle x^2 + x - 2 = x^2 - x + 2x - 2 = x\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)$
e quindi
$\displaystyle x^3 - 3x + 2 = \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)^2$
La derivata prima è
$\displaystyle f’\left( x \right) = 3x^2 - 3$
e si annulla per $x = \pm 1$
La derivata seconda è
$\displaystyle f”\left( x \right) = 6x$
e si annulla per $x = 0$.
La funzione ha questa forma
Individuiamo un punto $P$ sul ramo della curva nel secondo quadrante, troviamo il punto ${\rm P’}$, proiezione di $P$ sull’asse delle ascisse, e tracciamo la retta $\overline {{\rm OP}}$
L’area richiesta dal problema è data dall’area ${\rm OAPP’}$ meno l’area del triangolo ${\rm OPP’}$ che valgono rispettivamente
$\displaystyle A_{{\rm OAPP’}} = \int_x^0 {dtf\left( t \right)} = \left[ {\frac{{t^4 }}{4} - \frac{3}{2}t^2 + 2t} \right]_x^0 = - \frac{{x^4 }}{4} + \frac{3}{2}x^2 - 2x$
e
$\displaystyle A_{\rm T} = \frac{{ - x\,f\left( x \right)}}{2} = - \frac{{x^4 - 3x^2 + 2x}}{2}$
il segno meno perché $x < 0$. Poniamo dunque
$\displaystyle A_{{\rm OAPP’}} - A_{\rm T} = \frac{5}{4}$
$\displaystyle \frac{{x^4 - 3x^2 + 2x}}{2} - \frac{{x^4 }}{4} + \frac{{3x^2 }}{2} - 2x = \frac{5}{4}$
ovvero
$\displaystyle x^4 - 4x - 5 = 0$
Sempre con l’occhio vigile (provando i numeri semplici) si vede che $x = -1$ soddisfa l’equazione: l’equazione della retta cercata è dunque
$\displaystyle y = y_{\rm O} - \frac{{y_{\rm P} - y_{\rm O} }}{{x_{\rm P} - x_{\rm O} }}\left( {x - x_{\rm O} } \right) = - 4x$