Riconsidero l'osservazione di Alex.
Moltiplicando $\displaystyle \, (2+\sqr{3}) \,$ per $\displaystyle \, (a+b\sqr{3}) \,$ si ottiene:
$\displaystyle (2+\sqr{3})(a+b\sqr{3}) = (2a+3b)+(a+2b)\sqr{3}$ .
Quindi, partendo da $\displaystyle \, 2a_0+3b_0 = 2 \,$ e $\displaystyle \, a_0+2b_0 = 1 \,$ cioè $\displaystyle \, a_0 = 1 \,$ e $\displaystyle \, b_0 = 0 \,$
e operando come indicato da:
$\displaystyle 1) \, a_i = 2a_{i-1}+3b_{i-1} \\ 2) \, b_i = a_{i-1}+2b_{i-1} \,$
si può comporre la seguente tabella
$\displaystyle \begin{array}{c|cc}i&a_i&b_i\\\\-----&-----&-----\\\\\\0&1&0\\1&2&1\\2&7&4\\3&26&15\\4&97&56\\5&362&209\\6&1351&780\\7&5042&2911\\8&18817&10864\\9&70226&40545\end{array}$
etc.
Osservando queste successioni di numeri si possono verificare diverse relazioni. Per
esempio:
$\displaystyle 3) \, a_i = 2b_i-b_{i-1} \\ 4) \, b_i = \frac {2a_i-a_{i-1}} {3}$
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La (3) si può ricavare dalla (1) dopo aver sostituito $\displaystyle {\tex\footnotesize a_{i-1}}$
con $\displaystyle {\tex\footnotesize b_i-2b_{i-1}}$
in base alla (2).
Con procedimento simile si ottiene la (4) dalla (2) sostituendo $\displaystyle {\tex\footnotesize b_{i-1}}$
in base alla (1).
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o anche:
$\displaystyle 5) \, a_i = 4b_{i-1}-a_{i-2} \\ 6) \, b_i = 4b_{i-1}-b_{i-2}$
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La (5) si può ottenere applicando la (4) al termine $\displaystyle {\tex\footnotesize b_{i-1}}$
della (1).
Con procedimento simile si ottiene la (6), applicando la (3) al termine $\displaystyle {\tex\footnotesize a_{i-1}}$
della (2).
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Le ultime due relazioni, a differenza di quelle che precedono, hanno la stessa forma per
gli $\displaystyle \, a_i \,$ e i $\displaystyle \, b_i \,$. Ma vi sono altre proprietà che possono essere applicate
a entrambe le successioni, come per esempio questa:
$\displaystyle 7) \, 2a_i2a_{i+1}-(a_{i+1}-a_i)^2 = 2a_{i+1}a_{i+2}-(a_{i+2}-a_{i+1})^2$
(sostituendo $\displaystyle \, a \,$ con $\displaystyle \, b \,$ si ha quella corrispondente ai numeri $\displaystyle \, b_i$).
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Per provare la (7) si potrebbe procedere così:
$\displaystyle {\tex\footnotesize (a_{i+2}-a_{i+1})^2-(a_{i+1}-a_i)^2=2a_{i+1}a_{i+2}-2a_ia_{i+1}}$
$\displaystyle {\tex\footnotesize (a_{i+2}-a_i)(a_{i+2}-2a_{i+1}+a_i)=2a_{i+1}(a_{i+2}-a_i)}$
e in effetti si riconosce che:
$\displaystyle {\tex\footnotesize a_{i+2}-2a_{i+1}+a_i=2a_{i+1}$
è una conseguenza della (5).
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Pertanto, poiché $\displaystyle \, 2a_0a_1-(a_1-a_0)^2 = 3 \,$ , sarà anche:
$\displaystyle 7a) \, 2a_ia_{i+1}-(a{i+1}-a_i)^2 = 3 \,$ .
Un'altra interessante relazione può essere stabilita osservando quanto segue.
Se nella
$\displaystyle a_i = 4b_{i-1}-a_{i-2}$
si sostituisse $\displaystyle \, a_{i-1} \,$ con $\displaystyle \, 4a_{i-2}-a_{i-3} \,$ , si avrebbe:
$\displaystyle a_i = 4(4a_{i-2}-a_{i-3})-a_{i-2} = (4\cdot 4-1)a_{i-2}-4a_{i-3} = 15a_{i-2}-4a_{i-3}$
Operando nello stesso modo con $\displaystyle \, a_{i-2} \,$ e in seguito con $\displaystyle \, a_{i-3}, \, a_{i-4}$ etc.,
si avrebbe ancora:
$\displaystyle a_i = 15(4a_{i-3}-a_{i-4})-4a_{i-3} = (4\cdot 15-4)a_{i-3}-15a_{i-4} = 56a_{i-3}-15a_{i-4} \\ a_i = 56(4a_{i-4}-a_{i-5})-15a_{i-4} = (4\cdot 56-15)a_{i-4}-56a_{i-5} = 209a_{i-4}-56a_{i-5} \\ a_i = 209(4a_{i-5}-a_{i-6})-56a_{i-5} = (4\cdot 209-56)a_{i-5}-209a_{i-6} = 780a_{i-5}-209a_{i-6}$
etc.
Si vede subito che i coefficienti che compaiono nel secondo membro non sono altro
che elementi consecutivi della successione dei $\displaystyle \, b_i \,$, dal momento che essi obbediscono
alla regola di formazione (6) a partire da 1 e 4.
Ciò dimostra direttamente che:
$\displaystyle 8 ) \, a_i = a_{i-h}b_{h+1}-a_{i-h-1}b_h$
dove $\displaystyle \, i-1 \ge h \ge 0 \,$.
Quest'ultima relazione, per $\displaystyle \, i-h = h+1 \,$ , diventa:
$\displaystyle 9) \, a_{2h+1} = a_{h+1}b_{h+1}-a_hb_h$
Ecco, la (9) può aiutare a dimostrare il problema di Apritisesamo.
Infatti, sostituendo $\displaystyle \, b_h \,$ e $\displaystyle \, b_{h+1} \,$ , nell'ordine, in base alla (1) e alla (4),
si trova:
$\displaystyle a_{2h+1} = \frac {2(a_{h+1}-a_h)^2+2a_ha_{h+1}} {3} \,$.
D'altra parte, però, per la (7a) è:
$\displaystyle 2a_ha_{h+1} = (a_{h+1}-a_h)^2+3$
e allora:
$\displaystyle a_{2h+1} = (a_{h+1}-a_h)^2+1$
Questo significa che i termini $\displaystyle \, a_i \,$ con $\displaystyle \, i \,$ dispari seguono sempre di un'unità un numero
quadrato e quindi $\displaystyle \, a_i-1 \,$ (che corrisponde alla lettera $\displaystyle \, m \,$ di Apritisesamo) in tali casi
è un quadrato.
Bruno