BASE CINQUE FORUM

Determinare tutti i valori interi di x ed m per i quali sia $x^3+9x^2+8x+9=m^3$

$x=1, m=3$

...

Panurgo, help... solo questa? Perché?

Innanzi tutto riscriviamo l’equazione come

$y = \sqrt[3]{{x^3 + 9x^2 + 8x + 9}}$

Il problema chiede di cercare i valori interi di $x$ e $y$ che soddisfano l’equazione.


Come si evince dalla figura, la funzione ha un asintoto, la retta $y = x + 3$.
Infatti

$\begin{array}{l} {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{\sqrt[3]{{x^3 + 9x^2 + 8x + 9}}}}{{x + 3}} = {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \sqrt[3]{{\frac{{x^3 + 9x^2 + 8x + 9}}{{x^3 + 9x^2 + 27x + 27}}}} = \sqrt[3]{{{\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x^3 + 9x^2 + 8x + 9}}{{x^3 + 9x^2 + 27x + 27}}}} = \\ \quad \quad = \sqrt[3]{{{\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{3x^2 + 9x + 8}}{{3x^2 + 9x + 27}}}} = \sqrt[3]{{{\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{6x + 9}}{{6x + 9}}}} = 1 \\ \end{array}$

Nella parte asintotica, la curva differisce sempre meno dalla retta senza raggiungerla mai: questo significa che la curva non può passare per punti di coordinate intere quando le ordinate differiscono meno di $1$ tra di loro (la retta passa per punti di coordinate intere e la curva può passarvi solo se dista dalla retta di un valore intero).
La curva interseca la retta nel punto $\left( -\frac {18}{19}; \frac {39}{19} \right)$.
E’ sufficiente a questo punto verificare i pochi valori interi di $x$ per cui la differenza tra curva e retta è non minore di $1$: il punto $\left( {1;3} \right)$ è evidenziato sul grafico come intersezione di due rette.

Ciao Pan,
ma non è $y=\sqrt[3]{x^3+9x^2+8x+9}$?

Admin

A proposito Pan,
cosa usi per fare i grafici?
Matlab?

Grazie.

Admin

una piccola svista... ho provveduto alla correzione

quanto a questo grafico, è fatto con R (vedi http://www.r-project.org/)

Questa è la sequenza di comandi di R per ottenere un grafico come quello che ho postato

xmin \left| M \right|[/tex]

$x^3+9x^2+8x+9=m^3$

Ciao a tutti.
Ho cercato una soluzione algebrica che utilizzasse congruenze ed eventualmente qualche concetto algebrico più profondo.

Non essendo molto "abituato" a lavorare coi numeri interi, non ho trovato una soluzione, però ho scoperto qualcosa.

Se riscriviamo l'uguaglianza modulo 3 otteniamo

$x^3+2x \equiv m^3\ mod(3)$

E si vede facilmente che $x^3+2x \equiv 0\ mod(3)$ per ogni intero x. Il che significa che $m^3 \equiv 0\ mod(3)$, ovvero $m \equiv 0\ mod(3)$ perché 3 è primo (quindi $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ è campo quindi dominio di integrità, se volete). Quindi $m=3a$ per qualche a intero. Quindi $m^3$ è multiplo di 27.

Facendo ora modulo 9:

$x^3+8x \equiv 0\ mod(9)$, ovvero $x^3 \equiv x\ mod(9)$. Se guardiamo le congruenze modulo 9 ci accorgiamo che $2^3 \equiv 8\ mod(9),\ 3^3 \equiv 0\ mod(9),\ 4^3 \equiv 1\ mod(9),\ 5^3 \equiv 8\ mod(9),\ 6^3 \equiv 0\ mod(9),\ 7^3 \equiv 1\ mod(9)$, mentre 0, 1 e -1 elevati al cubo sono congrui a se stessi modulo 9. Il che significa che le congruenze possibili di x modulo 9 sono solo 0, 1 e -1.

Inoltre, evidentemente $x^3+9x^2+8x+9 \equiv 0\ mod(27)$, e si può fattorizzare l'espressione modulo 27 come $x^3+9x^2+8x+9 \equiv (x-1)(x-8 )(x-9)\ mod(27)$. Ora, $\mathbb{Z}/27\mathbb{Z}$ non è dominio di integrità perché 27 è composto, quindi bisogna fare una piccola verifica per accorgersi che gli unici zeri di tale polinomio in x in $\mathbb{Z}/27\mathbb{Z}$ sono 1, 8 e 9. Quindi le congruenze possibili di x modulo 27 sono solo 1, 8 e 9.

Per ora non ho scoperto altro, purtroppo. Credo che però insistendo in questa direzione a qualcosa si arrivi...

Ciao

...

Panurgo, trovo davvero interessante la tua soluzione!

Stavo cercando di vedere se ci fosse un'altra via praticabile per rispondere al quesito
di Pasquale, ma ho appena visto che Tino ha postato una sua interpretazione.
La stampo e me la studio.

Intanto, però, ho una curiosità: come sei giunto, Pasquale, a determinare la relazione?
Stavi facendo qualche ricerca in questa direzione? Oppure l'hai trovata da qualche
parte?

E' interessante sapere cosa si nasconde dietro a un problema: bello è risolverlo, ma
non sempre la risoluzione può dirci cosa ci sia dietro, come lo studioso sia arrivato
a formulare la questione.

Ciao a tutti!

Bruno

No, no, magari: il quesito l'ho trovato girovagando su internet e purtroppo senza soluzione, per cui l'ho postato e poi mi sono messo anch'io allo studio di una soluzione, con mezzo successo finora.
Lo so che non è cosa buona, in quanto allo stato non sono in grado di dare una soluzione completa, ma ho scelto comunque di mettere in gioco il quesito per dare occupazione ai basecinquini (a volte tutto tace): mi pare di ricordare che il quesito sia stato formulato nell'ambito di una qualche gara di matematica, non ricordo di dove (quando trovo qualche problema degno d'attenzione lo metto in archivio ed ogni tanto vado a vedere cosa ho da poter sottoporre all'attenzione).

Qualcosa di buono penso possa derivare dalla divisione per x di ambedue i membri (x non assume il valore di 0):

$x^2+9x+8-\frac {m^3-9}{x}=0$

sviluppo l'equazione di 2° grado:

a) $x = \frac{-9+sqrt{49+\frac{4(m^3-9)}{x}}}{2}$

qui vediamo che la frazione visibile nel radicando è certamente un intero se x=1,2,4

nella a) per x=1, è 1 anche la x del primo membro ed affinché sia 1 tutto il secondo membro, è necessario che il numeratore sia 2 e dunque la radice 11, ovvero il radicando 121, cioè deve essere:

$49+\frac{4(m^3-9)}{1}=121$

da cui:

$m^3=27$; m=3

Procedendo similmente si vede che x=2; x=4 non possono essere soluzioni.

Resta da dimostrare che i valori di x, che potrebbero essere divisori di $m^3-9$, non soddisfano mai la a).

Semplifichiamo:

$x^3+9x^2+8x+9=m^3$

$x(x+1)(x+8 )+9=m^3$

$x=\frac {m^3-9}{(x+1)(x+8 )}$

Sul piano cartesiano rappresentiamo:

y=x
$y=\frac {k}{(x+1)(x+8 )}$ con $k=m^3-9$

La prima rappresenta la bisettrice del primo/terzo quadrante e la seconda una famiglia di curve di cui gli assi sono asintoti.
A noi interessano solo i valori positivi di x ed m.
Vediamo (ma mi risparmio il disegno) che per m3 e per un numero limitato di casi, non tanto perché $m^3-9$ non sia divisibile per (x+1)(x+8 ), in quanto ho trovano parecchi rapporti interi, ma nessuno uguale alla x, salvo il caso riferito.

Purtroppo non so dire di più e me ne duole, vogliate perdonare, ma chissà che non venga fuori la soluzione prima o poi.

Pasquale ha scritto:A noi interessano solo i valori positivi di x ed m.

Pasquale, scusami... Forse ho mal inteso, ma nel testo del problema non avevi
parlato di tutti i valori interi di x ed m?

Si, perché cosa ho detto di diverso?

Altro pensamento ad alta voce:

a) $x^3+9x^2+8x+9$

è un cubo ($m^3$) per x=1 (ormai lo sappiamo) e vale 27, che è il cubo di 3, ovvero $(1+2)^3$.

Quindi:

b) $(x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8$, per x=1 è 27, come per la a), ma in più è sempre un cubo per qualsiasi x

Allora, la a) è un cubo se:

c) $x^3+9x^2+8x+9=x^3+6x^2+12x+8$

Evidentemente la c) non è un'identità, ma un'equazione che ci dice quando la a) è uguale alla b), cioè quando la a) è un cubo.

Dunque, dalla c) abbiamo:

3x^2-4x+1=0, da cui:

$x_1=\frac {1}{3}$

$x_2=1$

cui corrisponde:

$m_1=\frac {7}{3}$

$m_2=3$

Ai nostri fini è accettabile solo la soluzione x=1; m=3

Un sofismo?