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Quando si dice troppo

Inviato: gio dic 29, 2005 3:43 pm
da Pasquale
Perché $3a^4-4a^3b+b^4\ge 0$, per ogni reale a,b ?

Inviato: ven dic 30, 2005 3:23 pm
da archie
Perche' il polinomio si puo' scomporre cosi':
$(a-b)^2(3a^2+2ab+b^2)$ ed i due fattori del prodotto
sono il primo non negativo ed il secondo sicuramente positivo
dato che non ha radici reali.
Archie

Inviato: lun gen 02, 2006 12:30 pm
da Bruno
...

D'accordo con te, Archie ;)

In alternativa, ma si tratta di un'inezia, potrei intervenire sul primo membro
della disuguaglianza in questo modo:

$\displaystyle 3a^4+b^4-4a^3b = a^4+b^4-2a^2b^2+2a^2b^2+2a^4-4a^3b = \\ (a^2-b^2)^2+2a^2(a^2+b^2-2ab) = (a^2-b^2)^2+2a^2(a-b)^2 \ge 0 .$

A sinistra, pertanto, ho ottenuto una somma di quadrati, il valore della quale,
per gli a e b indicati, non può essere minore di zero.

.........
Bruno