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R: Prova di post di un problema...

Inviato: mer dic 28, 2005 9:12 am
da _Admin
> Inviato: Gio Mag 19, 2005 6:22 pm Oggetto: Prova di post di un problema...


Prova di post di un problema a caso preso dal forum;

Probabilità o certezza? di Alex

Ecco come appare con l'utilizzo di Tex:

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Considero la seguente equazione:

$(3+2\cdot\sqrt{2})^K=A+B\cdot\sqrt{2}$

con A, B e K numeri interi
e $\sqr{2}$=radice quadrata di 2


Quale è la probabilità che: $A^2=2\cdot B^2+1 ?$
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_________________
Pietro Vitelli
(Amministratore del Forum)

Inviato: mer dic 28, 2005 9:14 am
da _Bruno
>>> Inviato: Lun Ott 24, 2005 4:40 pm Oggetto:


...

Posto le mie considerazioni su questo problema di Alex.

Il quesito proviene dal vecchio forum e Pietro (Admin) mi ha detto che non ricorda se ne sia stata
data la risoluzione.

...

Nella relazione:

$\displaystyle (3+2\sqr{2})^k = A+B\sqr{2}$

l'esponente può essere non minore di zero oppure minore di zero.
Bisogna allora capire quando, in tali casi, il quadrato di $\displaystyle \,{\tex\footnotesize A}\,$ segua di un'unità il quadrato di $\displaystyle \,{\tex\footnotesize B\sqr{2}}\,.$



Caso I: $\displaystyle \,\,{\tex\footnotesize k\,\ge\,0}.$

Comincio a scrivere:

$\displaystyle (3+2\sqr{2})^0 = 1+0\sqr{2}\\(3+2\sqr{2})^1 = 3+2\sqr{2}\\(3+2\sqr{2})^2 = 17+12\sqr{2}\\(3+2\sqr{2})^3 = 99+70\sqr{2}$

e così via, fino a:

$\displaystyle (3+2\sqr{2})^{k-1} = a_{k-1}+b_{k-1}\sqr{2}\\(3+2\sqr{2})^k =(a_{k-1}+b_{k-1}\sqr{2})\cdot(3+2\sqr{2}) = (3a_{k-1}+4b_{k-1})+(2a_{k-1}+3b_{k-1})\sqr{2} = a_k+b_k\sqr{2}.$

Pertanto:

$\displaystyle 1. \,\,\,\, a_k = 3a_{k-1}+4b_{k-1} \\ 2. \,\,\,\, b_k = 2a_{k-1}+3b_{k-1}$

rappresentano le regole di formazione (ricorsive) dei termini $\displaystyle \,a\,$ e $\displaystyle \,b\,$ che compaiono al secondo
membro delle potenze sopra sviluppate.

Con riferimento alla simbologia adottata da Alex, $\displaystyle \,a_k \,=\, A$ e $\displaystyle \,b_k \,=\, B$.

Ecco una tabellina dei primi valori:

$\displaystyle \begin{array}{c|cc}k&a_k&b_k\\\\-----&-----&-----\\\\\\0&1&0\\1&3&2\\2&17&12\\3&99&70\\4&577&408\\5&3363&2378\\6&19601&13860\\7&114243&80782\\\\\\.\\.\\.\\\end{array}$

Attraverso la (1) e la (2) posso stabilire le seguenti uguaglianze:

$\displaystyle \, \left \{a_{k+1}-a_k = 2a_k+4b_k = (b_{k+1}-3b_k)+4b_k \,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\, a_{k+1}-a_k = b_{k+1}+b_k \\ a_{k+1}+a_k = 4a_k+4b_k = 2(b_{k+1}-3b_k)+4b_k \,\,\, \Rightarrow \,\,\, a_{k+1}+a_k = 2b_{k+1}-2b_k.$

Moltiplicando membro a membro, ottengo:

$\displaystyle a_{\tex\footnotesize {k+1}}^2-a_{\tex\footnotesize k}^2 = 2b_{\tex\footnotesize {k+1}}^2-2b_{\tex\footnotesize k}^2$

vale a dire:

$\displaystyle a_{\tex\footnotesize {k+1}}^2-2b_{\tex\footnotesize {k+1}}^2 = a_{\tex\footnotesize k}^2-2b_{\tex\footnotesize k}^2.$

Ma siccome:

$\displaystyle a_{\tex\footnotesize 0}^2-2b_{\tex\footnotesize 0}^2 = 1$

sarà anche:

$\displaystyle 3. \,\,\,\, a_{\tex\footnotesize k}^2-2b_{\tex\footnotesize k}^2 = 1$.

Dunque, quando l'esponente di $\displaystyle \,(3+2\sqr{2})^k = a_k+b_k\sqr{2}\,$ non è negativo,
$\displaystyle \,a_{\tex\footnotesize k}^2\,$ segue sempre di un'unità $\displaystyle \,(b_k\sqr{2})^2\,$, cioè:

$\displaystyle A^2=2B^2+1$.



Caso II: $[tex]$\displaystyle \,\,{\tex\footnotesize k\, 0, avrei:

$\displaystyle (3+2\sqr{2})^{-r} = \frac {1} {(3+2\sqr{2})^{r}} = \frac {1} {a_r+b_r\sqr{2}}$

dove $\displaystyle \,a_r\,$ e $\displaystyle \,b_r\,$ sono numeri interi positivi del tipo definito nel caso precedente.

Quindi, moltiplicando numeratore e denominatore per $\displaystyle \,a_r-b_r\sqr{2}\,$ (naturalmente, $\displaystyle a_r \,\neq\, b_r\sqr{2}$):

$\displaystyle (3+2\sqr{2})^{-r} = \frac {a_r-b_r\sqr{2}} {a_{\tex\footnotesize r}^2-2b_{\tex\footnotesize r}^2} = a_r-b_r\sqr{2},$

per la (3).

Rispetto alla simbologia di Alex, $\displaystyle \,a_r \,=\, A$ e $\displaystyle \,-b_r \,=\, B$.

Dunque, poiché $\displaystyle \,(-b_r\sqr{2})^2 =(b_r\sqr{2})^2\,$, anche in questo caso è sempre verificata
la relazione:

$\displaystyle A^2=2B^2+1.$


Tutto ciò, ovviamente, Salvo errori & omissioni --- come si legge sulle fatture.
(Fra l'altro, non ho ancora molta confidenza con Tex, che tuttavia trovo davvero utile.)

Un saluto a tutti,

Bruno

Inviato: mer dic 28, 2005 9:16 am
da Bruno
...

Fine del recupero.


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Bruno