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fai la somma

Inviato: mar dic 27, 2005 7:26 pm
da Pasquale
ANNULLATO

Anche di questo non ho la soluzione, ma ve lo passo per la vostra goduria (mi sa che deve essere un po' tosto):

trovare la somma della serie infinita $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+ ....….$, in cui al denominatore compaiono solo numeri divisibili per 2 e/o 3 (giustificare).

ANNULLATO

Inviato: mer dic 28, 2005 11:26 am
da Bruno
...

Pasquale, ciao.

Ho bisogno di un chiarimento, mi sfugge qualcosa.
Il quattro e il due non son divisibili per tre, perché allora non c'è l'otto?
E perché non c'è il nove ma il tre sì?
I denominatori devono essere della forma $\displaystyle {\tex\footnotesize 2^\alpha \cdot 3^\beta}$ con esponenti non negativi?
Intanto grazie ;)

Bruno

Inviato: mer dic 28, 2005 6:48 pm
da Pasquale
...e il 10? Chiedo scusa, Bruno ha ragione...non ho controllato che il testo fosse aderente alla serie scritta...mi sono fidato ed in effetti questo è accaduto, perché il quesito non l'ho proprio studiato, nella fretta di mettervi al lavoro.....
Va bene, il quesito è da intendersi annullato.

Inviato: mer dic 28, 2005 8:28 pm
da Admin
Chiudo il topic?

Inviato: mer dic 28, 2005 8:31 pm
da panurgo
Sarebbe un peccato, perché nella formulazione di Bruno mi pare interessante: la serie è

$S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{16}} + \cdots = \sum\nolimits_{\alpha ,\beta \in N} {\frac{1}{{2^\alpha 3^\beta }}}$

E’ possibile raggruppare i termini in

$S_{0,0} = 1$

e infinite somme del tipo

$S_{n,m} = \frac{1}{{2^n 3^m }} + \frac{1}{{2^{2n} 3^{2m} }} + \frac{1}{{2^{3n} 3^{3m} }} + \cdots$

nelle quali $n$ e $m$ devono essere primi tra loro. Ciò perché se, per esempio, $n= p m$ allora

$\frac{1}{{2^n 3^m }} = \frac{1}{{\left( {2^1 3^p } \right)^n }}$

e quindi sarebbe un termine della somma $S_{1,p}$. Ugualmente per $m = q n$

Consideriamo la somma $S_{1,0}$

$S_{1,0} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}} + \cdots$

Si tratta della serie geometrica di ragione $\frac 1 2$ senza il primo termine, cioè

$S_{1,0} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}} + \cdots = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}} + \cdots - 1 = \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} - 1 = 1$

La somma somma $S_{0,1}$ vale

$S_{0,1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \cdots = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \cdots - 1 = \frac{1}{{1 - \frac{1}{3}}} - 1 = \frac{1}{2}$

La somma somma $S_{1,1}$ vale

$S_{1,1} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{36}} + \frac{1}{{216}} + \frac{1}{{1296}} + \cdots = \frac{1}{5}$

E, in generale, la somma $S_{n,m}$ vale

$S_{n,m} = \frac{1}{{2^n 3^m }} + \frac{1}{{2^{2n} 3^{2m} }} + \frac{1}{{2^{3n} 3^{3m} }} + \cdots = \frac{1}{{2^n 3^m - 1}}$

Nella formulazione di Pasquale, la serie è

$S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{16}} + \cdots$

ovvero

$S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{12}} + \cdots + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{15}} + \cdots - \frac{1}{6} - \frac{1}{{12}} - \frac{1}{{18}} - \cdots$

e, quindi

$S = 1 + \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6}} \right)\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \cdots } \right) = 1 + \frac{2}{3}\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \cdots } \right) = \infty$

La serie diverge

Inviato: gio dic 29, 2005 8:24 am
da panurgo
panurgo ha scritto:$n$ e $m$ devono essere primi tra loro
In realtà, non devono avere fattori comuni, ovvero $MCD = 1$. Infatti, se $n = p a$ e $m = q a$ allora $\frac 1 {2^n 3^m} = \frac 1 {\left ( 2^p 3^q\right )^a}$ e quindi è un termine della somma $S_{p,q}$

Inviato: gio dic 29, 2005 11:11 am
da Ospite
A me il quesito sembra molto semplice!
La somma è 3 infatti essa si può scrivere nel seguente modo:
$(1/2^0+1/2^1+1/2^2+1/2^3+...+1/2^n)*(1/3^0+1/3^1+1/3^2+1/3^3+...+1/3^n)$
Essendo il prodotto di due serie geometriche di ragioni 1/2 e 1/3 si ottiene:
$[1/(1-1/2)]]*[1/(1-1/3)]=2*3/2=3$

Inviato: gio dic 29, 2005 11:30 am
da panurgo
Ospite ha scritto:A me il quesito sembra molto semplice!
La somma è 3 infatti essa si può scrivere nel seguente modo:

$S = \left ( \frac 1 {2^0} + \frac 1 {2^1} + \frac 1 {2^2} + \frac 1 {2^3} + \cdots + \frac 1 {2^n} + \cdots \right) \times \left ( \frac 1 {3^0} + \frac 1 {3^1} + \frac 1 {3^2} + \frac 1 {3^3} + \cdots + \frac 1 {3^n} + \cdots \right)$

Essendo il prodotto di due serie geometriche di ragioni $\frac 1 2$ e $\frac 1 3$ si ottiene:

$\frac 1 {1 - \frac 1 2} \times \frac 1 {1 - \frac 1 3} = 2 \times \frac 3 2 = 3$
Col che Ospite ha dimostrato anche quanto vale il mio acume... :cry:

Inviato: gio dic 29, 2005 12:36 pm
da Bruno
...

Il tuo acume ha valore alto e intatto!
D'altra parte, la questione è nata un po' zoppicante...

;) Bruno