...
Forse Ospite intendeva questo.
Innanzitutto, vediamo che la frazione indicata può essere scritta come segue:
$\displaystyle \frac{3n-2}{n^3+3n^2+2n} = \frac{3n-2}{n(n+1)(n+2)} \,.$
Considerando
n intero e positivo, diciamo che la somma delle frazioni:
$\displaystyle \frac{1}{6} , \, \frac{4}{24} , \, \frac{7}{60} , \, \frac{10}{120} , \, \frac{13}{210} , \, \cdots \, \frac{3n-2}{n(n+1)(n+2)}$
è uguale al rapporto:
$\displaystyle \frac {n^2}{(n+1)(n+2)} \,,$
e lo verifichiamo per induzione.
Infatti, vediamo dapprima che:
$\displaystyle \frac{1}{6} = \frac{1^2}{(1+1)(1+2)} \\ \frac{1}{6}+\frac{4}{24} = \frac{1}{3}= \frac{2^2}{(2+1)(2+2)} \\ \frac{1}{3}+\frac{7}{60} = \frac{9}{20} = \frac{3^2}{(3+1)(3+2)} \, .$
Quindi, supponiamo che fino al numero intero e positivo
r sia vera l'uguaglianza:
$\displaystyle 1) \, \sum_{i=1}^{r} \frac{3i-2}{i(i+1)(i+2)} = \frac{r^2}{(r+1)(r+2)} \,.$
Aggiungendo a entrambi i membri della (1) la frazione successiva:
$\displaystyle \frac {3(r+1)-2}{(r+1)[(r+1)+1][(r+1)+2)]}$,
si ottiene:
$\displaystyle \sum_{i=1}^{r+1} \frac{3i-2}{i(i+1)(i+2)} = \frac{r^2}{(r+1)(r+2)}+\frac {3(r+1)-2}{(r+1)[(r+1)+1][(r+1)+2)]}$
ma, come si verifica facilmente:
$\displaystyle \frac{r^2}{(r+1)(r+2)}+\frac {3(r+1)-2}{(r+1)[(r+1)+1][(r+1)+2)]} = \frac{(r+1)^2}{[(r+1)+1][(r+1)+2]}$
e perciò:
$\displaystyle \sum_{i=1}^{r+1} \frac{3i-2}{i(i+1)(i+2)} = \frac{(r+1)^2}{[(r+1)+1][(r+1)+2]} \, .$
La relazione (1), dunque, valendo per il numero
r, vale anche per
r+1.
Riprendiamo allora il nostro
n (che abbiamo assunto intero e positivo), poiché:
$\displaystyle \frac{n^2}{(n+1)(n+2)} = \displaystyle \frac{1}{(1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})} \, ,$
per $\displaystyle n \to \infty$ la somma in questione tende effettivamente a $\displaystyle 1$.
Se invece Ospite avesse avuto in mente qualcos'altro... prego
_____
Bruno