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$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n-2}{n^3+3n^2+2n}=?$

La somma è 1.

Ospite ha scritto:La somma è 1.

Aspetto con trepidazione un'esauriente spiegazione

...

Forse Ospite intendeva questo.

Innanzitutto, vediamo che la frazione indicata può essere scritta come segue:

$\displaystyle \frac{3n-2}{n^3+3n^2+2n} = \frac{3n-2}{n(n+1)(n+2)} \,.$

Considerando n intero e positivo, diciamo che la somma delle frazioni:

$\displaystyle \frac{1}{6} , \, \frac{4}{24} , \, \frac{7}{60} , \, \frac{10}{120} , \, \frac{13}{210} , \, \cdots \, \frac{3n-2}{n(n+1)(n+2)}$

è uguale al rapporto:

$\displaystyle \frac {n^2}{(n+1)(n+2)} \,,$

e lo verifichiamo per induzione.
Infatti, vediamo dapprima che:

$\displaystyle \frac{1}{6} = \frac{1^2}{(1+1)(1+2)} \\ \frac{1}{6}+\frac{4}{24} = \frac{1}{3}= \frac{2^2}{(2+1)(2+2)} \\ \frac{1}{3}+\frac{7}{60} = \frac{9}{20} = \frac{3^2}{(3+1)(3+2)} \, .$

Quindi, supponiamo che fino al numero intero e positivo r sia vera l'uguaglianza:

$\displaystyle 1) \, \sum_{i=1}^{r} \frac{3i-2}{i(i+1)(i+2)} = \frac{r^2}{(r+1)(r+2)} \,.$

Aggiungendo a entrambi i membri della (1) la frazione successiva:

$\displaystyle \frac {3(r+1)-2}{(r+1)[(r+1)+1][(r+1)+2)]}$,

si ottiene:

$\displaystyle \sum_{i=1}^{r+1} \frac{3i-2}{i(i+1)(i+2)} = \frac{r^2}{(r+1)(r+2)}+\frac {3(r+1)-2}{(r+1)[(r+1)+1][(r+1)+2)]}$

ma, come si verifica facilmente:

$\displaystyle \frac{r^2}{(r+1)(r+2)}+\frac {3(r+1)-2}{(r+1)[(r+1)+1][(r+1)+2)]} = \frac{(r+1)^2}{[(r+1)+1][(r+1)+2]}$

e perciò:

$\displaystyle \sum_{i=1}^{r+1} \frac{3i-2}{i(i+1)(i+2)} = \frac{(r+1)^2}{[(r+1)+1][(r+1)+2]} \, .$

La relazione (1), dunque, valendo per il numero r, vale anche per r+1.

Riprendiamo allora il nostro n (che abbiamo assunto intero e positivo), poiché:

$\displaystyle \frac{n^2}{(n+1)(n+2)} = \displaystyle \frac{1}{(1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})} \, ,$

per $\displaystyle n \to \infty$ la somma in questione tende effettivamente a $\displaystyle 1$.

Se invece Ospite avesse avuto in mente qualcos'altro... prego

_____
Bruno

Bravo bruno. Interessante la tua soluzione.
La mia soluzione è più diretta.
Scomponendo il termine generale della serie in frazioni semplici si ottiene:
$\displaystyle \frac{5}{n+1}-\frac{1}{n}-\frac{4}{n+2}\$
La somma perciò diventa:
$\displaystyle 5\sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{n+1}}-\sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{n}}-4\sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{n+2}}$
Modificando gli estremi delle sommatorie possiamo scrivere:
$\displaystyle 5\sum_{2}^{\infty}{\frac{1}{n}}-\sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{n}}-4\sum_{3}^{\infty}{\frac{1}{n}}$
Rendendo uguali gli estremi inferiori delle tre serie si ha:
$\displaystyle (5){\frac{1}{2}}+5\sum_{3}^{\infty}{\frac{1}{n}}-(1+\frac{1}{2})-5\sum_{3}^{\infty}{\frac{1}{n}}$
Eliminando le serie a termini opposti si trova infine:
$\displaystyle \frac{5}{2}-1-\frac{1}{2}=1$

"Prova di LaTeX".

Molto interessante(e bella) la soluzione di Bruno.Ma mi é sorto un dubbio:a quella formula,
$\displaystyle \sum _{i=1}^{n} \frac {3i-2}{(i(i+1)(i+2)}=\frac {n^2}{(n+1)(n+2)}$,come ci sei arrivato?
Cioé ho capito che é vera e perché é vera,ma mi piacerebbe sapere quali ragionamenti ti hanno fatto arrivare alla formula suddetta.Sarebbe utile e dilettevole,senza considerare che senza la spiegazione che ti chiedo la tua dimostrazione suona un po' "incompleta",con una formula che piove dal nulla.Se ti ricordi la serie di passaggi mentali che l'ha prodotta,potresti scrivermi?
Scusa se rompo ma una così gradevole formula mi spinge a chiederti di più.
Grazie in anrticipo.
Ciao!

...

Per 0-§:

Purtroppo devo risponderti da un pc pubblico e quindi non riesco a spiegarti
i passaggi esatti (anche se pochi) che mi hanno condotto a ipotizzare - inizialmente -
la formula della somma finita, che poi ho dimostrato per induzione. In un certo senso,
però, ho "smosso le zolle con la vanga"... e cioè ho semplicemente sommato le
prime frazioni fino a un certo punto e mi sono accorto che ogni tanto mi appariva
al numeratore un quadrato e che, quando accadeva questo, il denominatore era
il prodotto di due numeri consecutivi. Poi ho visto che anche le altre frazioni-somma
potevano essere tradotte in questa forma, così...
Tu non rompi, anzi!


Per Ospite:

Bravo a te, piuttosto!
Bella, la tua idea, e anche svelta (almeno dopo aver indovinato le tre frazioni).


Ciao!


Bruno

Complimenti a tutti....siete dei maestri.