Come promesso, torno sull’argomento.
In questo topic ci sono due cose che mi hanno lasciato perplesso: la prima riguarda l’uso del termine probabilità (qui parlo con cognizione di causa) e la seconda invece riguarda il merito dell’argomento di Admin (e qui, invece, si trattava solo di una sensazione)
Liquido subito la prima perplessità: mi sembra inutile caricarsi della necessità di indicare uno spazio di campionamento, le probabilità a priori e tutto l’armamentario necessario per considerare il risultato ottenuto una probabilità. Lo spazio di campionamento è l’insieme dei naturali (dal quale non è nemmeno necessario escludere lo $0$ perché il risultato non cambia), la probabilità a priori per ciascun $n$ è assegnata sulla base del principio di indifferenza (attraverso un passaggio al limite), la probabilità condizionata a $n$ vale o $0$ o $1$ in modo determinato e si ottiene che la probabilità a priori è uguale alla frequenza con cui le potenze di $2$ cominciano con la cifra $1$. La teoria della probabilità va, a mio avviso, usata quando è necessario far pesare altre informazioni oltre alla mera frequenza.
Mi pare che il modo più naturale in cui può essere espresso il quesito sia: “con quale frequenza le potenze $2^n \forall n \in N$ cominciano con la cifra $1$?”.
Per venire alla seconda perplessità, questa mattina mentre in macchina andavo al lavoro, ho provato a fare due conti a mente per vedere se l’affermazione di Admin che la sequenza $0, 4, 7$ valeva anche per numeri molto grandi potesse reggere.
Mi sono subito reso conto che tale sequenza avrebbe potuto continuare indefinitamente solo se $2^{10} = 1000$, il che non è: ho considerato che
$2^{10} = 1\,024 \\ 2^{20} = 1\,024^2 = 1\,000\,000 + 48\,000 + 576 \approx 1\,048 \times 10^3 \\ 2^{40} \approx 1\,048^2 \times 10^6 = \left( {1\,000\,000 + 96\,000 + 2\,304} \right) \times 10^6 \approx 1\,100 \times 10^9 \\ 2^{80} \approx 1\,100^2 \times 10^{18} = 1\,210 \times 10^{21} \\ 2^{160} \approx 1\,210^2 \times 10^{42} = \left( {1\,000\,000 + 420\,000 + 44\,100} \right) \times 10^{42} \approx 1\,460 \times 10^{45} \\ 2^{320} \approx 1\,460^2 \times 10^{90} = \left( {1\,000\,000 + 920\,000 + 211\,600} \right) \times 10^{90} \approx \underline 2 \,130 \times 10^{93} \\$
Come si vede (anche se approssimativamente) tra $2^{160}$ e $2^{320}$, la sequenza si contrae e la prima cifra $1$ compare in anticipo.
Mi sono quindi armato di pazienza, ho scritto un programmino per eseguire la duplicazione di numeri molto grandi e ho calcolato le potenze di due per $n \in \left {0, 1, \ldots, 20000 \right \}$: ho così potuto verificare che la frequenza oscilla intorno al valore $0,3010 \ldots$
A questo punto ho avuto quello che gli alcolisti chiamano il “momento di lucidità”: $\log_{10} 2 \approx 0,30103$
Mi sono detto: “Accidenti! E’ chiaro che la frequenza dell’$1$ in prima cifra deve dipendere dalla base numerica in cui il numero è scritto!” E mi sono gettato nei calcoli.
Risultato: la frequenza in base $b$ “tende” a $\log_b 2$
Dico “tende” perché non sono capace di dimostrare (qualcuno che sappia almeno qualcosa di teoria dei numeri, se c’è, batta un colpo) che $log_b 2$ sia un limite vero e proprio: le oscillazioni “diminuiscono” ma sempre più lentamente e quindi può benissimo essere che, come ritiene FrancescoVeneziano, non vi sia un limite definito.
Comunque, ecco a voi una chicca: $2^{19999}$ in
BASE CINQUE
$1041432333341224334043434002214123424040213044033314100421344301323321004121113421$
$3112213331413200303433011313133144341323041403421100243343232002234133002344444121$
$2101322413200414411340044010120300230341014000401420312131042030334133024110240011$
$3411242004200043302234402233131322104044424014223431040101122140011141404411003233$
$0122234434143111212300014040034302343313401402441412410313444403200040003123044031$
$3001341042003403120313101222233304300103033310441044430240132004413134423401223432$
$4042041040303104240200222444230402233023044324431321311343344143220424302134024314$
$1022033334134242142130114443133340224403000121333121111110434000104143320032304132$
$1034342130320143022123303221404111112341212041402331404444231203231413100344342113$
$4213101343334443024042030232233232343133102441414444324003303134041311023304312023$
$2321013341020332303214230110203141424232210011143131210033003211240433420120012113$
$2413402123324123422043423233010214421320212400122111401401011202203210313434144141$
$1014112001123401132143403333310114114203034002422313144344332423332433101042313043$
$0343222003042014004201333403030133332112020131231144411120440332301031411224322242$
$4423143340330332023210200111002002104121311432200204232404310214130131320414411130$
$2221141310321341221004130314204320234432322240241331414233210020224010202001143034$
$0443431110310422412321132131333340240343243231033334210002100023140443002420012434$
$0100344304100333400323413321434101004410441121312303011300242042404224001343421414$
$4143043403222323223242313333024120341311434310321432033304431434000102034024231222$
$0013431123024132101031332434024042330324324000310300020314420141432222212433112314$
$2312320244200134123240131230301002344133124144214120220111301134200323211020433422$
$4312213023113324122442230342204420323111003224011001422404303244131401322424004201$
$3130433121320314211021441100203223032111331222314410031401142102024400030133421312$
$3441040223204333011402123434343230304301404130311331131333111414332421013020422113$
$4424311001221210203024243034224300334313241042430142403431111343400121200323244102$
$2340423321320341022144304441210433444130340330044440024410432044313121123102440223$
$2314222422123230222221403243133110233230221341131423122402034200444434032403333131$
$3414144111132124310342113443212324130333411414211021444243410221441100031010401341$
$3020442441421244102340404103424424121140334412110113211033334112314304110143200302$
$0204213113221402043001313004024411243104123000340042422132431114203033011110442404$
$0322441312411222424002412232344404413444101202423221343114401230111304302300411021$
$1124342103103131103121300333114214120304423224000312412121120210402201033204240234$
$4144301244431033440414044314342434133001004133200331022124434323131312422243430044$
$2041113001410310030130131430043134100341433442221020331003313403211142211230322404$
$1110121243421014414011422020312133111124314001410414322144441014214432303312442243$
$0321104302233120300011014232221023333110333224031333040010440423001334012130333033$
$3343202134314221212321123123022030031222424424424234113400444240330233204441411210$
$0414034331303412344110004020342302344213142333430030431340314102400403401213334103$
$0332334300323402343022002434312103321214030000304032414402442213440024302421114202$
$0032143142101441203402404321144002101121221004422013413034224333122402134423110142$
$0402120000120404424101111440230142143132214301240113310220031244322023001233044321$
$2301320223403200322014043224130424140321011024223430002310000443204140310103034420$
$4001322400412414030402024144410102110104001200422113344404404013404313000302223303$
$0404322043200414224023412134304424141040330224134343131313222442342013301043113204$
$2131434031432001031243430132131024120140121203330142443443211224033320333332224212$
$3204241332231142203422130021402242100010340423314442322330041212401333211320112114$
$3434144210322210412034404303140242112433220332110103301102140031143124244322242344$
$4344022410132011400040221410113430303001310103231003314344121022402120313231144120$
$3041133300112401400423111402030223032411100434202210131404101340100002404044431230$
$2412320232403134201043204333344420224023323112344444123101423132012433243242014233$
$4000121000422043341022011413242421234000211121133433133132210434232342040434303443$
$0401124430200301324231110344403001043440002034012324211010232034224033123221014230$
$1033214443034102432014343411001324113143323102000001121444401203313101201004124031$
$2340240444233140241433410431223423041123414412332102010142413243031314430233442304$
$4220310411412314334342002424422111224404343010311324102311113314331203023401304300$
$2040221300343342422303322240001043023401103343043104213102133433002144122024403220$
$2303341000444041044141022433202303202204334134240121103223241043331103332330241420$
$2103014002112002043203110430322143031434201223310011020314400023110234124440211332$
$3401321010221322421243233301422202234443013404311022322313314140132241310043122100$
$0343112144203322232002220421220432311423244311310203130231401230024043012314111242$
$1001144233041313314242002122032140313404102200022021120220430224011212403404141113$
$1131110001423443102033101032214414012204114144111031341200311122413244400034102024$
$1422002332034200111101313121143020003041400032101431331341423443121220340113441021$
$4042441442313314013244331241402310103142010233203414104343213240201003343101042113$
$4022014010203202313334042312111430232232102320140302332442414431142343142132210302$
$1121104304024443323242322002443233041101403110311201210331001121243413414122012422$
$4411324211031313331401311411032304420000441102130324102444302142042033443301310004$
$0314411333020444314013423010420000123402101400314244101213123324242231222422111023$
$1343201231201311413103310443414030014134124424200301224242032410102002221111323030$
$2223031333023141204334330103110331110040201102023120312132020222300411031021122042$
$3241004331410211002441432433441212100112211341123214302011224210321402222320122413$
$3120331143211323134043102214440400413032314210132444031121421204342143033103212034$
$4103433001114041003124223144401443144102242011411400412214244234233041421042302131$
$4020443442423122432314102144044323414210214314333302412430244324411221331014110223$
$1401232320431142210000330112221134233322322412404232304001400423413142400200224320$
$4320441024402100343214241433402120201301030104304402242023043322011440041313014012$
$1331442221111143131340231223021000234101230100044432002414410110141342404341223324$
$2243420401103112322414442341203420441011030042103421423144243034214413401022301124$
$1300241043123020421222121340410330212042114114111024302031203030204334343110131024$
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