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2^n

Inviato: ven dic 23, 2005 4:38 pm
da Pasquale
Scegliendo a caso un n non negativo, qual è la probabilità che la prima cifra di 2^n sia un 1 ?

Inviato: ven dic 23, 2005 8:03 pm
da delfo52
tra 1/3 e 1/4
dopo cena cercherò di saperne di più

Inviato: ven dic 23, 2005 10:00 pm
da delfo52
e dopo aver mangiato, cerco di spiegare il mio ragionamento.
La prima cifra della sequenza delle potenze di 2 (ma in realtà non solo, qualsiasi sequenza obbligatoriamente progressiva va bene) cresce da un termine all'altro, fino a che, raggiunto uncerto punto, si abbassa e il cammino riprende.
Nel caso in esame l'analisi è molto facile: la prima cifra cresce fino a quando, divenuta pari o superiore a 5, al passo successivo, riparte da 1
Nei successivi raddoppi, il numero nel suo complesso crsce e resta "nello stesso numero di cifre" 3 o 4 volte.
Mi spiego: il primo numero di m cifre è compreso fra 10000...1 e 199999...9
Per comodità diciamo tra 1 e 2
se è piccolo (cioè più vicino a 1) ai successivi passaggi resterà di m cifre per 4 volte
100000...1
200000...2
400000...4
800000...8
e poi scatta e diventa di m+1 cifre:
1600000..16

Se invece il primo numero è grandicello e vicino a 2, abbiamo
199999...9
399999...9
799999...9
e dopo solo tre elementi di mcifre , la sequenza passa ad elementi di m+1 cifre

Abbiamo così identificato gli estremi (1/3 e 1/4) entro cui sta la probabilità richiesta
ma...più vicino a un terzo o a un quarto?

Assumendo che la seconda e le successive cifre del primo elemento della serie composto da m cifre siano casuali (il che non è), basta vedere a che punto i numeri tra 1 e 2, raddoppiati due volte superano 5
appare ovvio che fino a 1,24999 occorrono tre raddoppi, e che da 1,25 ne bastano due

Ne consegue (?) che la proporzione richiesta sta tra 25% e 33% a un quarto dlla distanza fra i due valori
27,083333 %

(Stasera ho mangiato pesante, per cui non garantisco nulla...)

Inviato: ven dic 23, 2005 11:57 pm
da Pasquale
Direi che ci siamo "quasi"

Inviato: sab dic 24, 2005 12:07 am
da delfo52
è certo ragionevole la limitazione del problema ai casi n non negativo, ma forse si potrebbero ammettere anche esponenti negativi, e andare a vedere la "prima cifra diversa da zero" , il problema sta in piedi lo stesso; e forse la soluzione non cambia...
Qualcun altro, please....

Inviato: sab dic 24, 2005 1:46 pm
da Pasquale
Va bè, io ho potuto constatare, per una certa quantità di n, che per ogni 10 n consecutivi ci sono 3 potenze che iniziano con 1, per cui dovremmo essere al 30%.

Inviato: sab dic 24, 2005 4:04 pm
da Admin
Dunque,
ho notato che a partire dalla prima potenza di 2 con cifra iniziale 1, e cioè 2^0=1, le altre potenze di 2 con cifra iniziale 1 si ottengono sommando consecutivamente all'esponente 0, la sequenza 4,3 e 3 .

Ad es.

2^0=1\\2^{0+4}=2^4=16\\2^{4+3}=2^7=128\\2^{7+3}=2^{10}=1024\\2^{10+4}=2^{14}=16384\\2^{14+3}=2^{17}=131072\\2^{17+3}=2^{20}=1048576\\...\\...\\

ho verificato ciò fino a numeri grandissimi e questo sembra essere l'andamento fino all'infinito.
In pratica gli esponenti che determinano la cifra iniziale 1 sono 0,4,7 ... 10,14,17 ... e cosi via.

Quindi ogni 10 numeri la situazione si ripete (si ripete la sequenza +4 +3 +3).
Consideriamo come numero dei numeri naturali via via:

M\\M+1\\M+2\\M+3\\M+4\\M+5\\M+6\\M+7\\M+8\\M+9\\

Facciamo conto che M=10;
quindi il nostro n può assumere un valore che va da 0 a 10.
i valori di n in cui si ha che 2^n ha per cifra iniziale 1 sono, come ho mostrato sopra, 0, 4, 7,10.

Quindi se il numero di naturali è M=10 si ha
P_M=\frac{4}{11}

Andiamo ora a calcolare le probabilità nel caso i numeri naturali siano nell'ordine
M, M+1, M+2,M+3,M+4,M+5,M+6,M+7,M+8,M+9
con M=10.
  • M=10\quad \Longrightarrow \quad P_{M}=\frac{4}{11}=36,\bar{36}%
    (l'abbiamo vista sopra)
  • M+1=11\quad \Longrightarrow \quad P_{M+1}=\frac{4}{12}=33,\bar{3}%
    (si aggiunge un numero rispetto al precedente)
  • M+2=12\quad \Longrightarrow \quad P_{M+2}=\frac{4}{13}\approx 30,77 %
    (si aggiunge un numero rispetto al precedente)
  • M+3=13\quad \Longrightarrow \quad P_{M+3}=\frac{4}{14}=28,\bar{5714}%
    (si aggiunge un numero rispetto al precedente)
  • M+4=14\quad \Longrightarrow \quad P_{M+4}=\frac{5}{15}=33,\bar{3}%
    (si aggiunge un numero rispetto al precedente, ed una potenza di 2 con cifra iniziale 1 (2^{14}))
  • M+5=15\quad \Longrightarrow \quad P_{M+5}=\frac{5}{16}=31,25%
    (si aggiunge un numero rispetto al precedente)
  • M+6=16\quad \Longrightarrow \quad P_{M+6}=\frac{5}{17}\approx 29,41%
    (si aggiunge un numero rispetto al precedente)
  • M+7=17\quad \Longrightarrow \quad P_{M+7}=\frac{6}{18}=33,\bar{3}%
    (si aggiunge un numero rispetto al precedente, ed una potenza di 2 con cifra iniziale 1 (2^{17}))
  • M+8=18\quad \Longrightarrow \quad P_{M+8}=\frac{6}{19}\approx 31,58%
    (si aggiunge un numero rispetto al precedente)
  • M+9=19\quad \Longrightarrow \quad P_{M+9}=\frac{6}{20}=30%
    (si aggiunge un numero rispetto al precedente)
da cui ricaviamo gli estremi per la probabilità, che sono 28,\bar{5714}%\quad - \quad 36,\bar{36}%

Mentre stavo scrivendo però, mi sono accorto che se aumentiamo il valore di M che nell'esempio abbiamo scelto uguale a 10, le probabilità variano.
Per cui per una valutazione più precisa consideriamo M=10\cdot k con k costante.
Valutando le probabilità per i 10 casi si ottiene:
  • M=10\cdot k\quad \Longrightarrow \quad P_{M}=\frac{3\cdot k+1}{10\cdot k+1}
    (l'abbiamo vista sopra)
  • M+1=11\quad \Longrightarrow \quad P_{M+1}=\frac{3\cdot k+1}{10\cdot k+2}=
    (si aggiunge un numero rispetto al precedente)
  • M+2=12\quad \Longrightarrow \quad P_{M+2}=\frac{3\cdot k+1}{10\cdot k+3}
    (si aggiunge un numero rispetto al precedente)
  • M+3=13\quad \Longrightarrow \quad P_{M+3}=\frac{3\cdot k+1}{10\cdot k+4}
    (si aggiunge un numero rispetto al precedente)
  • M+4=14\quad \Longrightarrow \quad P_{M+4}=\frac{3\cdot k+2}{10\cdot k+5}
    (si aggiunge un numero rispetto al precedente, ed una potenza di 2 con cifra iniziale 1 (2^{10\cdot k+4}))
  • M+5=15\quad \Longrightarrow \quad P_{M+5}=\frac{3\cdot k+2}{10\cdot k+6}
    (si aggiunge un numero rispetto al precedente)
  • M+6=16\quad \Longrightarrow \quad P_{M+6}=\frac{3\cdot k+2}{10\cdot k+7}
    (si aggiunge un numero rispetto al precedente)
  • M+7=17\quad \Longrightarrow \quad P_{M+7}=\frac{3\cdot k+3}{10\cdot k+8}
    (si aggiunge un numero rispetto al precedente, ed una potenza di 2 con cifra iniziale 1 (2^{10\cdot k+7}))
  • M+8=18\quad \Longrightarrow \quad P_{M+8}=\frac{3\cdot k+3}{10\cdot k+9}
    (si aggiunge un numero rispetto al precedente)
  • M+9=19\quad \Longrightarrow \quad P_{M+9}=\frac{3\cdot k+3}{10\cdot k+10}
    (si aggiunge un numero rispetto al precedente)
A questo punto possiamo calcolarci il limite per k\quad \rightarrow \quad \infty delle probabilità di cui sopra;

si nota che tali probabilità per k\quad \rightarrow \quad \infty tendono tutte al valore \frac{3}{10}=30%

Questa è la probabilità cercata.

Admin

Inviato: sab dic 24, 2005 4:46 pm
da delfo52
abbiamo creato un bell'esempio da cui trarre un qualche insegnamento sulla cosiddetta (da me) matematica approssimativa.
Il mio primo risultato "grossolano" restringe il campo all'intervallo 25-33 %
E' già un risultato utile, per molte necessità.
Ma la sua vera "importanza" sta nel fatto che , definendo l'ordine di grandezza, permette di evitare errori e brutte figure.
Mettiamo che il lavoro finale di Pietro, per un qualsiasi errore o refuso, sempre possibile, portase ad un valore di 34,83333
Sapremmo subito che è sbagliato, e andremmo a cercare dove sta l'errore.
In un mondo in cui ci affidiamo alle macchine con fiducia cieca, e spesso immotivata, è bene avere un modo per accorgerci se stiamo per prendere una cantonata.
L'esempio che faccio spesso, quando cerco di far capire questo mio pensiero, è il seguente.
Se mi affido ad una calcolatrice per sapere quanto fa 7947 x 8 , prima ancora di leggere il risultato sul display, posso già essere sicuro almeno di due cose
-il risultato deve terminare per 6
- il valore deve essere inferiore a 64000 (di poco, perchè 7947 è di poco inferiore a 8000)
Se, a seguito di un qualche errore di battitura, mi viene dato un risultato di 71626, posso da subito sapere che è errato.
Ai fini pratici, molte volte prendere "a occhio" un risultato approssimato - nel caso in esame 63.500- può essere la strategia migliore.

Esercitazioni in questo senso dovrebbero, a mio parere, avere un posto anche nei programmi di insegnamento della scuola dell'obbligo.
Hanno, oltre a quanto detto sopra, una altro pregio, secondo me: possono permettere anche a chi non si trova a suo agio con i procedimenti e gli algoritmi "standard" di fare bella figura, e magari di risultare più bravo di quell'antipatico "secchione" che sa fare tanto bene le divisioni per tre cifre, ma che magari è più "lento" in questo tipo di operazioni.
Gradirei conoscere il parere tecnico di Bo, di Gaspero e degli altri professionisti della materia

Inviato: sab dic 24, 2005 6:20 pm
da Pasquale
Enrì, io non essendo un professionista concordo approssimativamente, così se qualcuno dice che è tutto sbagliato, so con certezza che sbaglia lui.

Inviato: lun dic 26, 2005 8:27 pm
da panurgo
L'unica cosa che mi lascia un po' perlesso in questo topic così interessante è l'uso del termine "probabilità": qui abbiamo a che fare solo con frequenze! :?

Inviato: lun dic 26, 2005 9:02 pm
da delfo52
fermiamoci prima di ricadere nella vecchia vecchissima storia della "probabilità" e della casualità.
il problema potrebbe (forse) essere equivalente a chiedere:
dato un qualsiasi numero, trovare la potenza di 2 più vicina ; a quanto accetteremmo di scommettere che tale potenza inizia per 1 ?
Non penso applicabile la cosa a domande del tipo "pensa un esponente a caso", perchè in domande di questo tipo è dimostrata una certa tendenza a prediligere numeri dispari, magari con finale 7 (che, chissà perchè, sembra a molti un numero più casuale di altri...)

Inviato: lun dic 26, 2005 10:47 pm
da panurgo
Sto riflettendo su come esporre le mie difficoltà in un modo che sia al contempo chiaro ed interessante: mi farò vivo quanto prima! :wink:

Inviato: mar dic 27, 2005 1:11 pm
da FrancescoVeneziano
Il problema ha senso enunciato in questo modo:
Si fissa un naturale N e si considerano gli interi compresi tra 0 e N, con distribuzione di probabilità uniforme; secondo questa distribuzione si calcola la probabilità che la prima cifra di 2^n sia 1 (trattandosi di un numero finito di casi, la formuletta casi favorevoli / casi possibili non presenta difficoltà).
Il risultato che si ottiene è una funzione di N, ora si cerca (se esiste!) il limite di questa funzione per N che tende ad infinito.

Non si può chiedere da subito una distribuzione uniforme sui naturali, perché è facile dimostrare che non ne esistono.

Il ragionamento di Admin (ed il suo risultato di 1/3) non è una dimostrazione matematica, e secondo me è sbagliato, nel senso che la prima cifra non dovrebbe essere periodica.

In un problema simile, ma cercando la probabilità che la prima cifra di n (non 2^n) sia 1, si ottiene che il limite non esiste, ed è facile, per quanto non scontato, che anche nel problema in questione si ripresenti questo fenomeno.

CaO (ossido di calcio)

Inviato: mar dic 27, 2005 11:03 pm
da panurgo
Come promesso, torno sull’argomento.

In questo topic ci sono due cose che mi hanno lasciato perplesso: la prima riguarda l’uso del termine probabilità (qui parlo con cognizione di causa) e la seconda invece riguarda il merito dell’argomento di Admin (e qui, invece, si trattava solo di una sensazione)

Liquido subito la prima perplessità: mi sembra inutile caricarsi della necessità di indicare uno spazio di campionamento, le probabilità a priori e tutto l’armamentario necessario per considerare il risultato ottenuto una probabilità. Lo spazio di campionamento è l’insieme dei naturali (dal quale non è nemmeno necessario escludere lo 0 perché il risultato non cambia), la probabilità a priori per ciascun n è assegnata sulla base del principio di indifferenza (attraverso un passaggio al limite), la probabilità condizionata a n vale o 0 o 1 in modo determinato e si ottiene che la probabilità a priori è uguale alla frequenza con cui le potenze di 2 cominciano con la cifra 1. La teoria della probabilità va, a mio avviso, usata quando è necessario far pesare altre informazioni oltre alla mera frequenza.
Mi pare che il modo più naturale in cui può essere espresso il quesito sia: “con quale frequenza le potenze 2^n \forall n \in N cominciano con la cifra 1?”.

Per venire alla seconda perplessità, questa mattina mentre in macchina andavo al lavoro, ho provato a fare due conti a mente per vedere se l’affermazione di Admin che la sequenza 0, 4, 7 valeva anche per numeri molto grandi potesse reggere.
Mi sono subito reso conto che tale sequenza avrebbe potuto continuare indefinitamente solo se 2^{10} = 1000, il che non è: ho considerato che

2^{10} = 1\,024 \\ 2^{20} = 1\,024^2 = 1\,000\,000 + 48\,000 + 576 \approx 1\,048 \times 10^3 \\ 2^{40} \approx 1\,048^2 \times 10^6 = \left( {1\,000\,000 + 96\,000 + 2\,304} \right) \times 10^6 \approx 1\,100 \times 10^9 \\ 2^{80} \approx 1\,100^2 \times 10^{18} = 1\,210 \times 10^{21} \\ 2^{160} \approx 1\,210^2 \times 10^{42} = \left( {1\,000\,000 + 420\,000 + 44\,100} \right) \times 10^{42} \approx 1\,460 \times 10^{45} \\ 2^{320} \approx 1\,460^2 \times 10^{90} = \left( {1\,000\,000 + 920\,000 + 211\,600} \right) \times 10^{90} \approx \underline 2 \,130 \times 10^{93} \\

Come si vede (anche se approssimativamente) tra 2^{160} e 2^{320}, la sequenza si contrae e la prima cifra 1 compare in anticipo.
Mi sono quindi armato di pazienza, ho scritto un programmino per eseguire la duplicazione di numeri molto grandi e ho calcolato le potenze di due per n \in \left {0, 1, \ldots, 20000 \right \}: ho così potuto verificare che la frequenza oscilla intorno al valore 0,3010 \ldots

A questo punto ho avuto quello che gli alcolisti chiamano il “momento di lucidità”: \log_{10} 2 \approx 0,30103
Mi sono detto: “Accidenti! E’ chiaro che la frequenza dell’1 in prima cifra deve dipendere dalla base numerica in cui il numero è scritto!” E mi sono gettato nei calcoli.

Risultato: la frequenza in base b “tende” a \log_b 2

Immagine

Dico “tende” perché non sono capace di dimostrare (qualcuno che sappia almeno qualcosa di teoria dei numeri, se c’è, batta un colpo) che log_b 2 sia un limite vero e proprio: le oscillazioni “diminuiscono” ma sempre più lentamente e quindi può benissimo essere che, come ritiene FrancescoVeneziano, non vi sia un limite definito.

Comunque, ecco a voi una chicca: 2^{19999} in BASE CINQUE

1041432333341224334043434002214123424040213044033314100421344301323321004121113421
3112213331413200303433011313133144341323041403421100243343232002234133002344444121
2101322413200414411340044010120300230341014000401420312131042030334133024110240011
3411242004200043302234402233131322104044424014223431040101122140011141404411003233
0122234434143111212300014040034302343313401402441412410313444403200040003123044031
3001341042003403120313101222233304300103033310441044430240132004413134423401223432
4042041040303104240200222444230402233023044324431321311343344143220424302134024314
1022033334134242142130114443133340224403000121333121111110434000104143320032304132
1034342130320143022123303221404111112341212041402331404444231203231413100344342113
4213101343334443024042030232233232343133102441414444324003303134041311023304312023
2321013341020332303214230110203141424232210011143131210033003211240433420120012113
2413402123324123422043423233010214421320212400122111401401011202203210313434144141
1014112001123401132143403333310114114203034002422313144344332423332433101042313043
0343222003042014004201333403030133332112020131231144411120440332301031411224322242
4423143340330332023210200111002002104121311432200204232404310214130131320414411130
2221141310321341221004130314204320234432322240241331414233210020224010202001143034
0443431110310422412321132131333340240343243231033334210002100023140443002420012434
0100344304100333400323413321434101004410441121312303011300242042404224001343421414
4143043403222323223242313333024120341311434310321432033304431434000102034024231222
0013431123024132101031332434024042330324324000310300020314420141432222212433112314
2312320244200134123240131230301002344133124144214120220111301134200323211020433422
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3130433121320314211021441100203223032111331222314410031401142102024400030133421312
3441040223204333011402123434343230304301404130311331131333111414332421013020422113
4424311001221210203024243034224300334313241042430142403431111343400121200323244102
2340423321320341022144304441210433444130340330044440024410432044313121123102440223
2314222422123230222221403243133110233230221341131423122402034200444434032403333131
3414144111132124310342113443212324130333411414211021444243410221441100031010401341
3020442441421244102340404103424424121140334412110113211033334112314304110143200302
0204213113221402043001313004024411243104123000340042422132431114203033011110442404
0322441312411222424002412232344404413444101202423221343114401230111304302300411021
1124342103103131103121300333114214120304423224000312412121120210402201033204240234
4144301244431033440414044314342434133001004133200331022124434323131312422243430044
2041113001410310030130131430043134100341433442221020331003313403211142211230322404
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2223

Inviato: mer dic 28, 2005 9:45 am
da Bruno
...

M.E.R.A.V.I.G.L.I.O.S.O!

Panurgo, devo dirti grazie per questa tua esplorazione!

Naturalmente, un grazie anche agli altri partecipanti.

In questo momento... non so bene quale sia la mia prima cifra,
ma posso senz'altro dire che dopo questi messaggi la mia mente
ha toccato questa frequenza:

\displaystyle 10000\cdot \log_{10} 2 \approx 3010,3 ---


;) Bruno