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La formica

Inviato: ven dic 23, 2005 4:26 pm
da Pasquale
Una formica parte da un punto P del bordo inferiore di un cilindro di raggio R ed altezza H e deve compiere n giri completi intorno alla superficie del cilindro, per terminare la sua corsa all'altezza del bordo superiore, sulla verticale del punto di partenza, superando quindi un dislivello H.
Mostrare e dimostrare il percorso più breve possibile.

Inviato: ven dic 23, 2005 8:01 pm
da delfo52
n= zero
percorso verticale

per n diversi da zero, si raccomanda di camminare sulla superficie interna del cilindro, sperando che lo spessore delle pareti sia prossimo al semiraggio del cilindro stesso

Inviato: sab dic 24, 2005 12:06 am
da Pasquale
Enrì, penso che si voglia n diverso da 0, altrimenti che problema sarebbe?
In sostanza dovrebbe essere un percorso elicoidale: potrebbe essere un cerchio più l'altezza, oppure un'elica più o meno equidistribuita lungo l'altezza.

Inviato: sab dic 24, 2005 12:24 am
da delfo52
non vedo come potrebbe essere altrimenti;
immagino di tagliare il cilindro e di spianarlo in modo da ridurre la superficie (interna!) ad un rettangolo; facendo per comodità, coincidere il punto di partenza con vertice e quello d'arrivo ad un vertice adiacente. Il problema è collegare i due punti con una linea, o meglio una serie di linee corrispondenti ai giri compiuti dalla formica.
Di strategie possibili , a occhio, se ne possono ipotizzare due:
tutti i giri con uguale "pendenza", che siglnifica sommare n ipotenuse di n triangoli rettangoli con base uguale al perimetro del cilindro e altezza pari all'altezza/n ;
oppure (n-1) volte la base del rettangolo (= perimetro del cilindro) e una diagonalona (ipotenusa del triangolo avente base e altezza come cateti).
Da poche verifiche fatte a campione, risulta sempre vincente la strategia di equidistribuzione; il che è coerente ed intuitivo, collegandosi al concetto-teorema che in un triangolo un lato è sempre minore della somma degli altri due, e soprattutto all'esperienza di qualunque ciclista o podista della domenica che ben sa che il modo migliore di superare un dislivello èe quello di distribuire nel modo più equo il dislivello stesso.

Inviato: sab dic 24, 2005 1:41 pm
da Pasquale
D'accordo. Quindi: \sqrt {4\pi^2R^2+H^2}

Inviato: sab dic 24, 2005 2:04 pm
da panurgo
Sembra che la disuguaglianza triangolare metta la parola fine sulla questione del percorso minimo, e invece ci sono ben 2^n percorsi minimi... :twisted:


P.S.: che la festa sia con voi!

Inviato: dom dic 25, 2005 10:34 pm
da Ospite
Vai avanti Pan, please.

Inviato: lun dic 26, 2005 7:23 pm
da Pasquale
Cioè 2^n percorsi uguali? n quanto vale?

Inviato: lun dic 26, 2005 8:09 pm
da panurgo
Scusatemi, ma le feste natalizie mi hanno portato in un luogo sconnesso e non ho potuto praticare il Foro.

Consideriamo lo sviluppo della superficie laterale del cilindro: un rettangolo. Il percorso della formica diviene una retta che congiunge vertici opposti del rettangolo

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Chiaramente, qualunque percorso diverso, sia esso una curva o una spezzata, è più lungo di quello rettilineo


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ma, nulla vieta di considerare il percorso a spirale nel verso opposto (l’altra diagonale del rettangolo)

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Prendiamo, per esempio, n = 4: ad ogni giro siamo liberi di scegliere quale delle due spirali seguire!

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Quindi, vi sono 2^n percorsi minimi, ciascuno lungo \sqrt {n^2 \left (2 \pi r \right )^2 + h^2}.

Al crescere di n la distanza percorsa tende a 2 n \pi r