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calcoli su di una Serie geometrica ...

Inviato: mer dic 21, 2005 6:07 pm
da Admin
Salve,
mi serve il vostro aiuto;

qualcuno mi sa dire quanto vale la somma dei primi $N$ termini di questa serie?

$1+2\cdot p^3+3\cdot p^4+4\cdot p^5+...+N\cdot p^{N-1}+...$

con $p$ costante.

Ho provato a ricercare su tutti i libri in mio possesso ma sono riuscito solo a trovare a quale valore converge all'infinito.
Ho provato anche a calcolare tale somma manualmente, ma la cosa va per le lunghe.

Admin

Inviato: mer dic 21, 2005 8:32 pm
da delfo52
N-1 o N+1 ?
qual è l'esponente giusto?

Inviato: gio dic 22, 2005 12:53 am
da Ospite
L'esponente più "giusto" sembrerebbe N+1, anzi anche il primo termine sarebbe "più bello " se fosse p^2. In questo caso la somma mi viene
p^2-(N+1)p^(N+2)+Np^(N+3) tutto fratto (1-p)^2
Se invece il primo termine è proprio 1 (e ammesso che nonostante la stanchezza la somma sia esatta) basta "aggiustarla" con +1-p^2.

Ciao e buon natale a tutti

Elena

Inviato: gio dic 22, 2005 2:16 am
da Pasquale
Brava Elena, come al solito, e grazie per gli auguri che contraccambio con un Buon Natale a tutti.

La formula funziona perfettamente:

Somma = $\frac {p^2 - (N+1)\cdot p^{N+2} + N\cdot p^{N+3}}{(p-1)^2} - p^2 + 1$

Inviato: gio dic 22, 2005 8:54 am
da Admin
Oops,
ho sbagliato a scrivere l'equazione;
in effetti solo l'n-esimo termine è corretto;
l'equazione corretta è:

$1+2\cdot p+3\cdot p^2+4\cdot p^3+5\cdot p^4+...+N\cdot p^{N-1}+...$

Sempre la somma dei primi N termini.

P.S.: Pasquale, mi puoi spiegare se non ti porta via molto tempo, come hai fatto per l'equazione precedente?

Admin

Inviato: gio dic 22, 2005 12:16 pm
da Ospite
La somma è:
S = [1 - p^n - n*p^n + n*p^(n + 1)]/(1 - p)^2

Inviato: gio dic 22, 2005 1:15 pm
da panurgo
Anonymous ha scritto:La somma è:
S = [1 - p^n - n*p^n + n*p^(n + 1)]/(1 - p)^2
Spesso mi vo, sentendomi (non senza imbarazzo) laudare per la presunta acutezza del mio ingegno: ecco un esempio di qualcosa che mi lascia ogni volta con gli occhi sgranati e il bocchino tondo :shock: E una domanda: ma come faranno...

P.S.: traduco la formula

$S = \frac {1 - p^n - n p^n + n p^{n + 1}} {(1 - p)^2}$

Inviato: gio dic 22, 2005 2:20 pm
da delfo52
interessante esempio di come possano accadere errori e "cantonate".
Dato il testo proposto inizialmente, sarebbe apparso molto più ovvio (almeno a me) pensare che l'errore era nel segno "meno" in fondo e non nell'infinita serie degli esponenti precedenti.

A volte si da per scontato che la situazione più "normale", più semplice sia quella giusta.
In questi giorni i miei fratelli ed io staimo procedendo ad una suddivisione di un giardino ai fini catastali, e per compravendite imminenti.
Uno dei "tagli" che devoo essere trascritti nelle piantine, per motivi che non vale la pena ricordae, corre a 80 cm dalla linea ideale di prolungamento della parete esterna di un immobile; logica ed estetica vorrebbero che la linea coincidesse con tale prolungamento, ma così non è.
Sta di fatto che i collaboratori dello studio ingegneristico che cura l'affare, credendo di far bene, "correggono " ogni volta l'anomalia, producendo carte, mappe e quant'altro, ogni volta sbagliati e da rifare.....

Inviato: gio dic 22, 2005 7:41 pm
da 0-§
In effetti si poteva capire che era giusto solo l'ennesimo termine,altrimenti il primo termine sarebbe stato 1p^2.
Ah,per chi non é così bravo in matematica(come me):dov'é la cappellata di Ospite e perché é tanto buffa?
Ariveduorci

Inviato: gio dic 22, 2005 10:51 pm
da Ospite
Confermo la somma di Ospite (anch'io sono ospite, però sono Elena, non ricordo mai la mia password).

Si può vedere così:

1+2p+3p^2+4p^3+...+(n-1)p^(n-2)+np^(n-1)=

=1+...+p^(n-1)+ (1)
+p+...+p^(n-1)+
+p^2+...+p^(n-1)+
...
+p^(n-2)+p^(n-1)+
+p^(n-1)=

=1-p^n fratto 1-p + (1)
+ p-p^n fratto 1-p +
+ p^2-p^n fratto 1-p +
...
+ p^(n-2)-p^n fratto 1-p +
+ p^(n-1)=

(1+p+p^2+...+p^(n-2))-(n-1)p^n tutto fratto 1-p + p^(n-1)

riapplicando la (1) e dopo qualche calcoletto si ha la formula di ospite.

Ciao

elena[/b]

Inviato: ven dic 23, 2005 1:38 am
da Pasquale
Per Admin: a riguardo della vecchia serie sbagliata, la formula non era mia, ma di Elena; io l'avevo solo messa in bella copia e ne avevo provato il funzionamento.
Quindi spetta sempre ad Elena la spiegazione.

Inviato: sab dic 24, 2005 12:33 pm
da Admin
Ringrazio tutti per gli interventi;

x Elena

se non ricordi più la password posso cancellarti come utente, in modo che tu possa riregistrarti con lo stesso nome e con una nuova password.

Fammi sapere.

Admin