Sommatoria carioca

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0-§
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Sommatoria carioca

Messaggio da 0-§ »

XXXIII OLIMPIADA BRASILEIRA DE MATEMATICA

Prima fase - Livello universitario

Calcolare il valore di $\displaystyle \sum_{m \ge 0}\,\sum_{n \ge 0} \frac{\min\{m, \,n\}}{3^{m+n}}.$

P.S. Il titolo è un obbrobrio, lo so, ma volevo trovare qualcosa che si accompagnasse bene a "olimpiada brasileira" :mrgreen:
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.

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Pasquale
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Re: Sommatoria carioca

Messaggio da Pasquale »

Non ho studiato queste cose difficili, però a volte la curiosità è anche maschia e quindi credo che il risultato sia 0,28125.
Boh, chissà? Se è sbagliato, vuol dire che ho impostato male il programmino di calcolo.
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0-§
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Re: Sommatoria carioca

Messaggio da 0-§ »

Il risultato è esatto. A questo punto si tratta di dimostrarlo...

P.S. Esistono (almeno) due possibili soluzioni: quella "ufficiale", che trovate sul sito della OBM, e la mia (se è corretta).
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.

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Tino
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Re: Sommatoria carioca

Messaggio da Tino »

:D divertente.

Ho dimostrato che viene 9/32 passando attraverso il calcolo di $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{3^k}$, ma forse non è il caso che scriva tutta la dimostrazione adesso... anziché $1/3$ si potrebbe mettere un qualsiasi reale tra 0 e 1, così si avrebbe un risultato più generale.
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Tino
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Re: Sommatoria carioca

Messaggio da Tino »

Aha :D sono pronto per il rilancio.

Dati due reali $0 < a,b < 1$ calcolare $\sum_{m,n \geq 0} a^m b^n \min \{m,n\}$.

Viene un risultato carino :)

Nel caso a qualcuno interessi posso inserire la mia soluzione.
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panurgo
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Re: Sommatoria carioca

Messaggio da panurgo »

Ci interessa ma lasciaci un po' più di tempo che ne abbiamo bisogno... :wink:
il panurgo

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Tino
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Re: Sommatoria carioca

Messaggio da Tino »

Tino ha scritto:Dati due reali $0 < a,b < 1$ calcolare $\sum_{m,n \geq 0} a^m b^n \min \{m,n\}$.
Il risultato è $\frac{ab}{(1-a)(1-b)(1-ab)}$

:)
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