Il Gatto e la Volpe

[franco]

La Volpe ha escogitato un nuovo giochino per pelare i gonzi e si accinge a provarlo col Gatto, suo degno compare.

Ha procurato tre monete: una di bronzo sulle cui facce sono incise le cifre 5 e 1; una d'argento in cui entrambe le facce hanno incisa la cifra 3 ed una d'oro sulle cui facce sono incise le cifre 2 e 6.

La regola è semplice: il Gatto sceglie per primo le moneta con cui giocare e la Volpe sceglierà una delle rimanenti, poi effettueranno 1000 lanci ed ogni volta colui il quale otterrà il punteggio più elevato riceverà un doblone dall'avversario.

Il Gatto, che non è uno sciocco ma non sospetta che le monete possano essere truccate, sceglie immediatamente la moneta d'oro: il valore medio delle due cifre è il più elevato e si aspetta quindi di vincere facilmente.
La Volpe però sceglie la moneta d'argento ed al termine dei 1000 lanci vince un centinaio di dobloni.

A quel punto la Volpe offre al Gatto la rivincita: il Gatto sceglie la moneta d'argento che aveva portato fortuna all'avversario la volta precedente.
La Volpe sceglie allora la moneta di bronzo con il risultato che il Gatto perde circa il doppio rispetto alla precedente partita.

Ora però il Gatto è furibondo e pretende di fare una terza partita scegliendo la moneta di bronzo ("saranno anche truccate ma se il bronzo batte l'argento e l'argento batte l'oro vuol dire che il bronzo è la moneta vincente!").

Come finirà quest'ultima sfida?

ciao

Franco

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libera traduzione di questo problema

[delfo52]

riporto un mio vecchio "pezzullo", ispirato a Martin Gardner
MAI FIDARSI DEI NUMERI

C’era una volta un professore di matematica che mangiava sempre alla stessa trattoria; una trattoria alla buona, tant’è vero che al momento del dolce non era possibile scegliere alla carta, ma ogni giorno veniva offerto un solo tipo di dolce, tra Ananas, Budino e Crostata. Il professore ogni giorno prendeva meticolosamente degli appunti misteriosi. Il cameriere gli chiese spiegazione, e il professore spiegò: “Prendo nota del gradimento che i vari dolci mi provocano, e ho scoperto che, attribuendo dei valori di piacevolezza secondo un mio personale metodo, il Budino mi piace sempre “3”, mentre l’Ananas a volte mi piace molto,”5”(nel 49% dei casi), a volte solo “1”(51%), la Crostata infine ottiene un gradimento molto vario,”2” nel 56% "4" e “6” nel 22% ciascuno. che esprimono le probabilità e i rispettivi punteggi per ognuno dei dolci.”
Il cameriere, che non voleva passare per ignorante, andò in cucina a fare due conti e tornò trionfante: “Professore, ho scoperto quale dolce le piace di più!” e mostrò i suoi conti da cui risultava correttamente che il gradimento atteso medio era di 2,96 per A, di 3 per B e di 3,32 per C. “Ne risulta, se vogliamo usare il linguaggio di voi professori, che

(1) C > B > A

Passarono gli anni; la trattoria si ingrandì; ora, ogni giorno, la cucina offriva la scelta, a rotazione, tra due delle tre portate. Con sorpresa del cameriere, il cliente non ordinava secondo quanto previsto dalla (1). “Se la scelta è tra A e B- spiegò il professore- è chiaro che B mi darà un punteggio maggiore nel 51% dei casi; ma tra B e C, sarà B a darmi il risultato migliore nel 56% dei casi, mentre C sarà meglio di A nel 61,78% delle volte (il conto è facile da fare). Ne consegue che

(2) B > C > A che è diversa da (1)

Il cameriere ci restò un po’ male, ma qualche giorno più tardi, pensò di poter mettere in difficoltà il professore. Era il compleanno del cuoco, e perciò, in via eccezionale, quel giorno, il menu contemplava la scelta fra tutte e tre le portate. “Come la mettiamo oggi, professore, facciamo valere la (1) e le porto la Crostata, o facciamo valere la (2) e le porto il Budino?”

“Non sia mai - replicò il professore - se la scelta è fra tre, portami senz’altro l’Ananas!”
E passò a dimostrare che, con tre scelte, B darà il risultato migliore solo se contemporaneamente A dà 1 e C dà 2, cioè nel 51% del 56%, vale a dire nel 28,56%. C vincerà sempre col 6 (22%) e col 4 solo se A dà 1 (51% del 22%), per un totale di 33,22%. Nel restante 38,22% dei casi prevarrà A.

Ne risulta

(3) A > C > B che è diversa sia da (1) che da (2)


A questo punto sapete rispondere alla semplice domanda: qual è il dolce preferito dal professore?

Se siete in difficoltà, avete pienamente ragione. Dove è il trucco?
Nessun trucco; solamente non si è preventivamente stabilito quale significato dare al concetto di “migliore”. Il bello (o il preoccupante) è che una confusione di questo tipo siamo tutti portati a farla, anche in campi diversi.
Le implicazioni in campo medico sono decisamente sconcertanti, dal momento che siamo tutti portati a considerare equivalente un buon risultato in termini di durata di sopravvivenza media e un buon tasso di sopravvivenza a tot mesi o anni. Immaginiamo per esempio di testare tre diversi trattamenti antitumorali; se valuteremo la loro efficacia misurando separatamente la sopravvivenza media dei pazienti trattati con le tre cure, ci troveremo nella situazione di (1), ma se faremo uno studio di confronto valutando la sopravvivenza a tre, quattro o cinque anni, avremo i risultati della (2) o della (3). E dovremo accettare che la cura A, che risulta scientificamente la peggiore, se valutata da sola o in confronto con una delle altre due, miracolosamente è quella che dà il miglior risultato in un confronto a tre.
Invece che in campo medico, possiamo immaginare di avere a che fare con produzioni agricole, o con rendimenti finanziari…
Possiamo anche aggiustare le cifre dei vari punteggi: abbassando i risultati di A (per es. 0,2 e 4,2, il suo valore medio si riduce a un misero 2,16, ma il suo piazzamento in (3) sarà sempre il migliore. Analogamente potremmo aumentare i suoi punteggi (1,8 e 5,8) cosicché con una media di 3,76 sarebbe nettamente primo in (1), pur restando ultimo in (2).
Quello che, a mio parere, sgomenta maggiormente, è il fatto di trovarci di fronte a risposte ambigue, anche dopo aver affrontato il problema in maniera aritmetica, affidandoci alla Scienza considerata la più esatta e imparziale di tutte, appunto la Matematica.
Per restare nel campo delle scienze mediche, non c’è dubbio che è necessaria una maggiore attenzione nella lettura ed interpretazione, anche inconscia, dei dati della letteratura, fino ad un vero e proprio scetticismo costruttivo in cui i risultati degli studi scientifici vengano filtrati attraverso il buon senso e la pratica clinica.

[Pasquale]

Nell'ultima sfida, se la volpe sceglie l'oro, può darsi che vince , oppure che perde.
Vince la volpe se fa 2 quando il gatto fa 1.

[franco]

Nell'ultima sfida, se la volpe sceglie l'oro, può darsi che vince , oppure che perde.
Vince la volpe se fa 2 quando il gatto fa 1.

La nuova partita sarà, come le precedenti, di mille lanci.

[Quelo]

Secondo i miei calcoli la volpe vince circa 300/350 dobloni.
Se le monete non fossero truccate l'oro vincerebbe sul bronzo 6vs5 6vs1 2vs1 e perderebbe 2vs5 quindi mediamente 3/4 vincite 1/4 perdite.
A causa delle monete truccate il rapporto scende a circa 2/3 a 1/3

[franco]

Secondo i miei calcoli la volpe vince circa 300/350 dobloni.
...

Più o meno ci siamo (credo, a me vengono 340), ci dici come hai fatto i conti?


ciao

[Quelo]

Anche a me esce 340, però è calcolato su una probabilità per cui è approssimativo (infatti nel testo si parla ad esempio di un centinaio di dobloni e non di 100 dobloni esatti) quindi molto probabilmente abbiamo fatto gli stessi calcoli. La miglior approssimazione di 340/1000 con frazioni di una cifra è 1/3, da qui la mia soluzione.
Comunque...
Con argento esce sempre 3, se le monete non fossero truccate, con oro il 2 e il 6 avrebbero la stessa probabilità e contro argento alla distanza finirebbe in un pareggio (lo stesso per bronzo)
Con le monete truccate argento vince circa 550 lanci, quindi il 2 di oro esce con una probabilità del 55% (e di conseguenza il 6 ha una probabilità del 45%)
Con lo stesso ragionamento si ricava che il 5 di bronzo ha una probabilità del 60% (e l'1 del 40%)
Nella sfida oro-bronzo il 5 di bronzo esce 600 volte (circa), contro questi lanci il 2 di oro (che ha una probabilità del 55%) esce 330 volte (circa), questo è l'unico caso in cui oro perde, in tutti gli altri casi vince. La differenza è di 340 (circa)
SE&O

[Gianfranco]

Davvero sconcertante per me questo problema!
Grazie Franco per avercelo proposto.
Complimenti anche per la traduzione libera.

Grazie anche a Enrico per il pezzo molto istruttivo con le implicazioni in campo medico.

Se hai tempo, potresti spiegare meglio in quali modi si possono confrontare tre farmaci?
Nel messaggio parli di sopravvivenza media e di sopravvivenza a un tot di anni.
In questi casi, qual è il criterio più giusto per stabilire quale farmaco è il "migliore"?

[Gianfranco]

Alcune notizie storiche sui giochi non transitivi, tratte prevalentemente da David Singmaster.

a) la morra cinese: (sembra risalire alla Dinastia Cinese Han (206 a. C - 220 d. C))
forbici batte carta
carta batte pietra
pietra batte forbici

b) punteggi a golf (una lettera di un certo J. C. Smith a The Scotsman nel 1932)
A - 1 2 3 - 6: A one up on B
B - 2 3 1 - 6: B one up on C
C - 3 1 2 - 6: C one up on A

c) Penney ante (proposto e risolto da Walter Penney, JRM 2:4 (Ottobre1969), discusso da Donald Knuth nel libro Concrete Mathematics del 1994)
Si usa una moneta non truccata. Il primo giocatore sceglie una sequenza di tre uscite, es. TTC. Il secondo giocatore, dopo aver saputo la sequenza scelta dal primo, sceglie a sua volta un'altra tripla, es. CTT. Si lancia la moneta fino a quando esce una delle due triple. Vince chi ha scelto la tripla che esce per prima.

d) i quattro dadi non transitivi di Efron (descritti da Martin Gardner, Scientific American (Dicembre 1970))
A: 4, 4, 4, 4, 0, 0
B: 3, 3, 3, 3, 3, 3
C: 6, 6, 2, 2, 2, 2
D: 5, 5, 5, 1, 1, 1

e) i tre dadi non transitivi (discussi da Edd Peg nel 2005)
A: 1, 4, 4, 4, 4, 4
B: 2, 2, 2, 5, 5, 5
C: 3, 3, 3, 3, 3, 6

Qualcuno conosce altre notizie sui giochi non transitivi?

Una domanda.
Gioco del Penney ante:
Qual è la probabilità che TCC esca prima di CCT?