Funzione diversa del pi greco

[Gianfranco]

Benvenuto Carlo!

Cercare nuove relazioni numeriche è un'attività fondamentale della matematica, perciò ti faccio i complimenti per la tua osservazione su Pi-greco che ha dato a tutti noi molti spunti per riflettere.

Da parte mia, condivido i dubbi di Pasquale a proposito delle dimensioni del volume che sono $l^3$ (lunghezza alla terza).
Non mi convince (dimensionalmente) neppure l'affermazione di Quelo: $V=\large\frac{C^2}{4}$.
A meno che, ponendo l'altezza = un numero puro allora si perde una dimensione del volume?

Pasquale, usando opportunamente solo i numeri 2 e 3 e le quattro operazioni si può ottenere Pi-greco approssimato a un qualunque numero di cifre decimali.
Cosa intendi quando dici: "operando su due numeri primi"?
Va bene anche una cosa così?
$3+\large \frac{2 \cdot 2^3} {(3+2+2)^2+2^3 \cdot 2^3}=3.141592...$

Ciao
Gianfranco

[Quelo]

Ciao Gianfranco,
complimenti per la tua soluzione con i numeri primi.

Per quanto riguarda il cilindro, sono d'accordo con te che dimensionalmente i conti non tornano, ma numericamente sì, a condizione che il raggio sia espresso nella stessa unità di misura in cui l'altezza vale (numericamente) $\pi$

Faccio un esempio, prendiamo un cilindro di raggio 5 cm, avremo

$C = 2 \pi r = 31,4159\,cm$

$\large\frac{C^2}{4}\normal = 246,74\,cm^2$

Se consideriamo un'altezza di 3,14159 cm il volume sarà:

$V = h \pi r = 3,14159 [cm] \cdot 78,5398 [cm^2] = 246,74\,cm^3$

Lo stesso cilindro, se consideriamo il raggio in metri, avrà

$C = 2 \pi r = 0,314159\,m$

$\large\frac{C^2}{4}\normal = 0,02467\,m^2$

La relazione sarà valida se il cilindro avrà un'altezza di 3,14159 metri

$V = h \pi r = 3,14159 [m] \cdot 0,007854 [m^2] = 0,02467\,m^3$

[Gianfranco]

Ciao Quelo,
Ho cercato la soluzione con un programma in Decimal Basic, poi mi sono accorto che era fondamentalmente uguale a quella trovata da Zu Chongzhi circa 1500 anni fa.
Questo Zu Chongzhi migliora anche la tua soluzione con 3 numeri primi!

$\large \pi = \frac {355}{113}= \frac {71 \cdot 5}{113}$

Ciao
Gianfranco

[Pasquale]

Si, ci siamo; per "operando" intendevo proprio quello che ha fatto Gianfranco; trattare i numeri con qualsiasi tipo di operazione.
Di seguito altri esempi:

lg(19739) - lg(853)

$\sqrt[99]{7} + \sqrt[5]{43}$

Naturalmente, poiché è riuscito nell'intento con i primi più piccoli, Gianfranco vince una bottiglia d'acqua al limone ed uno scongiuro sciamanico; quest'ultimo l'ho già fatto a sua insaputa al momento opportuno e spero che abbia funzionato sul digitale terrestre, sennò non so che farci; comunque ho visto che ha funzionato certamente bene sul risultato della partita, che si è conclusa felicemente 4 a 0 invece che 7 a 0.
Per la bottiglia d'acqua provvederò nell'arco di questa vita terrena, non appena capito da quelle parti (si richiede un po' di pazienza).

Tremenda invece la richiesta di Sergio sul pigreco da palindromi (vedremo se la cosa riesce).

[Carlo Gravina]

Grazie per l'accoglienza.
Sulla contraddizione superficie/volume, l'osservazione è valida. Anch'io l'avevo rilevata ma se ragioniamo in questi termini anche il calcolo dell'area del cerchio, applicando la formula nota, dovrebbe generare un volume, non una superficie. D'altro canto qualsiasi superficie moltiplicata per 1 diventa un volume senza cambiare, numericamente, valore.

[Gianfranco]

Pasquale, grazie per lo scongiuro da professionista, ne avevo proprio bisogno.
Per la bottiglia aspettiamo ancora un po', magari qualcuno trova una risposta più elegante e interessante.

Ma, nelle tue risposte c'è qualcosa che non mi convince:
a) nella prima è sottinteso il numero e;
b) nella seconda ci sono 4 numeri di cui uno non è primo.

???

L'osservazione di Carlo si può generalizzare così:

Se prendiamo una sequenza di prismi regolari di n = 3, 4, 5, ... lati, in cui il volume sia uguale (numericamente) a 1/4 del quadrato del perimetro, allora l'altezza, all'aumentare di n, tende a pi greco.
Ho inserito due immagini della sequenza di prismi fatte con Google SketchUp.
Da notare una specie di illusione ottica: nel disegno in prospettiva parallela sembra che i prismi diventino sempre più grandi.

Ciao
Gianfranco

[Gianfranco]

Ciao Carlo,

anche il calcolo dell'area del cerchio, applicando la formula nota, dovrebbe generare un volume, non una superficie

Potresti spiegare meglio?

Gianfranco

[Bruno]

Esprimere $\pi$ preciso alla quinta cifra decimale come rapporto di due numeri palindromi.

Un giro di valzer su MAGMA mi ha lasciato, per esempio, questi casi:

$\frac {1186811}{377773},\, \frac {1633361}{519915},\,\frac {1961691}{624426},\,\frac {2649462}{843348},\,$ etc. $\;$ (le prime due frazioni sono ridotte ai minimi termini).

[Quelo]

Bravo Bruno (e bravo Magma) !

$3+\large \frac{2 \cdot 2^3} {(3+2+2)^2+2^3 \cdot 2^3}=3.141592...$

Sulla strada tracciata da Gianfranco si può fare una piccola limatura

$3+\large \frac{2^{(2+2)}} {3^{(2+2)}+2^{(3+2)}}\normal=3.141592...$

cifre utilizzate 10, somma totale delle cifre 23

...

Altro ritocco

$3+\large \frac{2^{(2+2)}} {(2+3)!-2-2-3}\normal=3.141592...$

cifre utilizzate 9, somma totale delle cifre 21

[Pasquale]

Oggi sono stato a mare e sono stato preceduto; comunque il seguente rapporto di palindromi è preciso fino alla sesta cifra (mi ha aiutato DB, che non è il Sign. Decibel):

$\frac {1633361}{519915}$

Per Gianfranco: si, è come tu dici: il logaritmo è neperiano e fra gli indici delle radici ce n'è uno non primo, il tutto in linea con quanto avevo richiesto (operare su due primi); gli indici delle radici che sono primi, sono tali in modo casuale.

In questo senso, la bottiglia te la sei più che meritata, perché sei stato il primo ad operare sui due primi più piccoli che ci sono (2 e 3 con somma 5, se non si vuole riaprire la diatriba sul numero 1), anzi sei andato oltre, con le potenze e quant'altro.
Quindi, per te la meritata bottiglia, con in più la mappa del tesoro, oltre un passatempo di fisica sperimentale per l'estate:

$\text{ }$


se le palle pesano un chilo e la superficie è considerata idealmente super liscia, col filo senza attriti lungo 1 metro, e ci troviamo al livello del mare e la prima palla viene rilasciata con il filo teso, posto a 45° rispetto alla verticale, quanto tempo durerà il giochino? Io non lo so, chissà che qualcun altro di nostra conoscenza......ah, e se il giochino è posto al centro della terra, cosa accade?
____________

scusate, vedo adesso che la mia frazione è fra quelle già indicate da Bruno, dunque mi riservo di approfondire.

OK, fra le tantissime soluzioni ne indico solo una, esatta fino alla tredicesima cifra decimale:

$\frac{6259909099526}{1992590952991} = 3,1415926535897...$

Pasquale, usando opportunamente solo i numeri 2 e 3 e le quattro operazioni si può ottenere Pi-greco approssimato a un qualunque numero di cifre decimali.

Gianfranco, mi spieghi come bisogna muoversi per raggiungere tale risultato, cioè relativamente al numero di cifre decimali voluto?

[Carlo Gravina]

Pasquale, un raggio di cm. 5 al quadrato genera una superficie di cm. 25. Se la moltiplichiamo per 3,14...otteniamo un volume, non una superficie, di cm. 78,539...

[Pasquale]

Si Carlo, può essere, però è anche vero che se moltiplico un quadrato per 2, posso ottenere un rettangolo formato da 2 quadrati contigui, o un quadrato di area doppia, ma su questo argomento penso che i professori frequentatori del forum sappiano dare maggiori lumi.
Credo che ambedue le possibilità siano valide secondo che ci si occupi di geometria piana o solida.
Tuttavia, non mi pare che fosse questo il nocciolo della questione, bensì la definizione del pigreco, che è un numero puro, trattandosi per come lo conosciamo di un rapporto fra le misure di due entità geometriche; nel caso del cilindro mi è sembrato che fosse più una misura, piuttosto che un numero, derivante da un rapporto fra due entità geometriche in cui il pigreco è già insito; comunque le mie sono senz'altro solo delle elucubrazioni e posso benissimo sbagliarmi, ma il punto è che parlandone si rispetta lo spirito del sito, che è intitolato alla matematica "dilettevole", e dunque ci si diletta.



Intanto, riporto l'ultimo rapporto del DB, esatto fino alla 14esima cifra decimale, dopodiché lo spengo, altrimenti dovrei passare alla doppia precisione, con allungamento dei tempi di risposta:

$\frac{148967656769841}{47417877871474}=3.14159265358979$

[Gianfranco]

Ciao a tutti,

Complimenti a Quelo e Bruno!

Carlo, il significato del risultato di un'operazione dipende anche dalle dimensioni (= unità di misura) degli operandi.

Esempi:
a) se moltiplico un'area per un numero puro (es 2) ottengo il doppio dell'area, non un volume
b) se divido due lunghezze, aree, volumi ottengo un numero puro che è il rapporto fra le lunghezze, aree, volumi
c) se divido una lunghezza (metri) per un tempo (secondi) ottengo una velocità (m/s)
d) se divido una forza (newton) per una superficie (m^2) ottengo una pressione (N/m^2)
e) se moltiplico una potenza (watt) per un tempo (secondi) ottengo un lavoro o una energia (joule)

Posso anche fare le cose più strane e provare a interpretarle
Esempi:
f) se moltiplico una massa per una lunghezza e divido il risultato per un tempo^2 ottengo una forza
g) se raddoppio il nostro amico $\pi$, lo moltiplico per la radice quadrata di una lunghezza e lo divido per la radice quadrata dell'accelerazione di gravità, ottengo un periodo che è l'inverso di una frequenza.

e così via...

Pasquale, quello che intendevo era molto elementare.
Si sa che:
a) ogni numero intero positivo si può ottenere come SOMMA di potenze di 2
b) ogni numero intero posititivo si può ottenere come SOMMA e/o DIFFERENZA di potenze di 3
c) ogni approssimazione razionale di $\pi$ si può esprimere come rapporto di due numeri interi positivi

Perciò:
ogni approssimazione razionale di $\pi$ si può esprimere usando solo il numero 2 (più eventualmente anche il 3).


Ciao
Gianfranco

[Carlo Gravina]

Pasquale, per me le questioni afferenti il pi greco sono esclusivamente numeriche, non di geometria. Posso sbagliarmi perché anch'io sono uno che si diletta (dilettante).

[Carlo Gravina]

Gianfranco, nell'esempio a) da te portato, ottieni sia il doppio dell'area che il volume di un parallelepipedo.