Numeri simpatici

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

Quelo
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Numeri simpatici

Messaggio da Quelo »

Vi propongo questo quesito:

Data la seguente operazione

Elevo a potenza - separo per migliaia - sommo
(es. 8888^2 = 78.996.544 => 78+996+544 = 1618)

Un numero è detto simpatico se è invariante, cioè se la somma è uguale al numero dato.

Esempio di numero invariante per la seconda potenza: 703
(703^2 = 494.209 => 494+209 = 703)

Esempio di numero invariante per la seconda e terza potenza: 297
(297^2 = 88.209 => 88+209 = 297)
(297^3 = 26.198.073 => 26+198+073 = 297)

Trovare un numero invariate per la seconda, terza, quarta e quinta potenza
[Sergio]

Pasquale
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Pasquale »

001 e 1.702
_________________

\text {   }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Edmund
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Edmund »

Ciao Quelo,

ho bisogno di un chiarimento sul tuo quesito: la separazione delle cifre va fatta sempre per migliaia?
Se è così gli unici invarianti per la seconda potenza sono
1, 297, 703, 999

e tranne l'1 gli altri non possono essere contemporaneamente invarianti per la terza, quarta e quinta potenza.

Di questi numeri se ne era parlato in parte nel post: 6174:un numero misterioso
http://www.base5forum.it/viewtopic.php?f=1&t=479" target="_blank" target="_blank

saluti da Edmund

Edmund
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Edmund »

Ciao pasquale,
mi hai preceduto di pochissimo. Ora comunque mi è chiaro dove sbagliavo: avevo preso in considerazione solo numeri di tre cifre.

Credo che i numeri simpatici di Quelo possano anche definirsi come numeri di Kaprekar.

Edmund.

Edmund
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Edmund »

Confermo il risultato fornito da Pasquale.
Gli unici invarianti a quattro cifre sono il 1296 e il 1702
il 1296 è invariante per seconda e terza potenza
il 1702 è invariante fino alla quinta potenza
non esistono invarianti di numeri superiori alle 4 cifre (in base alla separazione delle cifre per migliaia).


Edmund

Quelo
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Quelo »

Complimenti per la velocità.

1296 e 1702 sono gli unici due invarianti di 4 cifre per la seconda potenza (gli altri sono 1, 297, 703, 999)
Non ci sono invarianti di 5 o più cifre per la seconda potenza.

Aumentando l'esponente però si trovano altri invarianti, es.
1333, 1666, 1999 sono invarianti per la 4a potenza (1999 lo è anche per la 3a)

per i numeri di 5 cifre bisogna arrivare almeno alla 13a potenza (es. 10027)

per il momento ho testato i primi 99999 numeri fino alla 40a potenza, il più alto è 38629 (che appunto è invariante per la 40a potenza)

1702 è però l'unico numero invariante per 4 potenze diverse e per di più in sequenza.
Pensare che l'ho scoperto per caso mentre cercavo una caratteristica peculiare della mia data di nascita.

Per cui vi propongo due nuovi quesiti:

1) Dimostrare che, dato un numero di m cifre, esiste un valore minimo di esponente tale per cui il numero dato può essere invariante

2) Trovare una caratteristica peculiare della propria data di nascita
[Sergio]

Pasquale
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Pasquale »

Simpatici questi simpatici!
Sempre fino a 99999, esistono degli indici che sono molto prolifici.
Ad esempio, l'indice 55 rende simpatici i seguenti numeri:


1 10 100 4000 16400 18200 18500 21200 21800 26300 27280 27350 27370 27410 28010 28120 28130 28870 28890 29240 29330 29690 30670 30710 30780 30980 31180 31190 31330 31780 32230 32290 32650 32890 32940 33580 33640 33760 33808 34160 34290 34450 34660 34777 35060 35120 35150 35443 35480 35891 35902 36226 36454 36560 36581 36614 36679 36775 36787 36794 36886 36890 37084 37175 37226 37358 37411 37517 37585 37673 37678 37744 37765 37814 37916 38107 38111 38285 38336 38545 38638 38705 38723 38746 38765 38839 38846 38854 38861 38924 38988 39005 39014 39028 39065 39098 39176 39190 39199 39211 39268 39287 39343 39364 39393 39404 39449 39469 39488 39526 39557 39569 39574 39631 39667 39676 39692 39704 39713 39778 39779 39833 39838 39839 39896 39987 39988 40037 40045 40075 40149 40166 40183 40198 40222 40244 40249 40321 40333 40364 40367 40411 40429 40432 40442 40445 40451 40453 40549 40633 40636 40654 40672 40679 40738 40762 40811 40838 40847 40915 40918 40922 40925 40948 40958 41024 41107 41117 41143 41174 41192 41215 41227 41229 41288 41302 41308 41317 41329 41333 41345 41362 41366 41391 41443 41477 41513 41521 41567 41591 41609 41621 41632 41661 41687 41702 41726 41776 41782 41794 41809 41846 41851 41873 41911 41948 41983 42002 42007 42011 42031 42035 42053 42065 42079 42095 42103 42122 42155 42187 42214 42218 42221 42242 42244 42275 42349 42374 42395 42436 42448 42488 42497 42506 42525 42559 42571 42578 42596 42608 42613 42634 42635 42661 42799 42806 42849 42856 42857 42892 42913 42916 42917 42931 42953 42961 42982 43028 43093 43112 43114 43138 43145 43146 43169 43172 43217 43249 43253 43262 43361 43363 43391 43426 43429 43471 43472 43478 43508 43528 43538 43577 43607 43619 43632 43664 43693 43709 43723 43738 43759 43808 43841 43844 43856 43882 43918 43922 43957 43966 44021 44029 44041 44064 44066 44071 44074 44131 44132 44144 44153 44162 44171 44194 44212 44224 44226 44227 44253 44347 44437 44521 44523 44548 44575 44606 44612 44656 44669 44687 44726 44758 44761 44773 44791 44818 44848 44888 44908 44909 44944 44948 44954 44993 45029 45059 45065 45115 45124 45136 45139 45151 45166 45187 45242 45295 45313 45334 45352 45406 45439 45466 45472 45647 45662 45665 45668 45722 45778 45844 45859 45926 45954 46028 46064 46072 46357 46469 46472 46547 46549 46553 46721 46769 46826 46925 47441 47468 47629 47783 48029 48236 48503 48851 48865 49555 49559 49855
_________________

\text {   }ciao Immagine ciao
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Edmund
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Edmund »

Volevo farvi conoscere un "simpaticone"

3728272^{3403}

il numero che viene fuori ha 22363 cifre.
Per il momento è il "più grande simpatico" che conosco.

Edmund

Pasquale
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Pasquale »

fiuuuuuuu!!!!
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Pasquale
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Pasquale »

1) Dimostrare che, dato un numero di m cifre, esiste un valore minimo di esponente tale per cui il numero dato può essere invariante
sicuro che sia così?

Se prendo in esame il n. 1, l'esponente minimo che lo rende invariante è zero, mentre 1 è l'esponente minimo che rende invarianti tutti i numeri da 2 a 999, ma nessun esponente può rendere invariante qualsiasi 10^n, per n>2.....sempre che invariante e simpatico siano stati utilizzati come sinonimi (così mi è sembrato di capire); oppure mi sfugge qualcosa.
_________________

\text {   }ciao Immagine ciao
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Edmund
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Edmund »

Credo che si può stimare il valore minimo dell'esponente in base al numero di cifre del "simpatico"; per esempio, con 7 cifre mi risulta che l'esponente deve avere valori minimi compresi tra 500 e 4290, con 8 cifre tra 4290 e 37538, ecc.
Spero di essere più preciso nei prossimi post.

Intanto propongo un nuovo grande simpaticone

4797198^{4289}

un numero con 28655 cifre.

Saluti da Edmund

Quelo
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Quelo »

1) Dimostrare che, dato un numero di m cifre, esiste un valore minimo di esponente tale per cui il numero dato può essere invariante
Forse mi sono espresso male, ma Edmund ha interpretato correttamente, cioè se il numero simpatico è di m cifre l'esponente non può essere inferiore a un certo valore (esponente minimo)
Bisogna calcolare questo valore teorico (nella pratica l'esponente minimo è di solito maggiore del minimo teorico).
[Sergio]

Edmund
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Edmund »

Il mio PC ha partorito gli ultimi due simpatici (dopo immensi sforzi ed immenso caldo)

5678316^5044
5680314^5038

entrambi con oltre 34000 cifre
adesso lo faccio riposare per tutto il weekend

Edmund

Pasquale
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Pasquale »

Ed, quale programma utilizzi per poter rappresentare numeri con così tante cifre, con la sicurezza che non ci siano errori?
_________________

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Quelo
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Quelo »

Ecco un altro super simpaticone

\large 8380314^{\small 7201}

circa 50.000 cifre

- Aggiornamento -

\large 11800966^{\small 10009}

oltre 70.000 cifre
[Sergio]

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