Numeri simpatici

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

Quelo
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Quelo »

Questo è proprio un Gran Simpaticone:

\large 166.534.724^{\small 121.645}

1.000.105 cifre !

Non mi avventuro oltre perché già a questo livello per testare ogni candidato ci vogliono più di 20 secondi.
[Sergio]

Quelo
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Quelo »

Ho riavviato la mia ricerca, ecco un nuovo numero:

\large261.569.488^{\,\small186.625}

1.570.933 cifre.

Prossimo traguardo 2 milioni di cifre.
[Sergio]

Pasquale
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Pasquale »

Ragazzi, non ci si può che complimentare per queste nuove scoperte; tuttavia sarebbe il caso di dimostrare quanto asserito, oppure di dimostrare che quelli qui di seguito, simbolicamente riportati, non sono i più grandi supersimpatici esistenti: \text \infty^\infty^\infty^{....}{  } :shock: :mrgreen:
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Quelo
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Quelo »

Mi sembra giusto.

Qui trovate l'espansione della potenza, già divisa in terzine, in formato CSV:
261569488^186625.zip
(833.15 KiB) Scaricato 250 volte
la somma può essere fatta con Excel (versione 2007 o superiore)

Qui potete verificare (per un numero limitato di cifre) la correttezza del calcolo: http://www.wolframalpha.com/input/?i=261569488%5E186625

Nota a margine:
Questa ricerca può essere certamente annoverata tra le inutilità matematiche (che pur taluni apprezzano), tuttavia non è dissimile da tante altre che comunque raccolgono proseliti, come
i trilioni di decimali di \pi http://www.numberworld.org/y-cruncher/
il più grande numero primo http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=3 (che può fruttare anche dei bei soldi https://www.eff.org/awards/coop)
o il miliardio di iterazioni per far diventare palindromo il 196 http://www.p196.org/milestones.html
[Sergio]

Quelo
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Quelo »

Nuovo numero:

\large401.138.734^{\,\small279.937}

2.408.381 cifre.

Prossimo traguardo 5 milioni di cifre.
[Sergio]

Gianfranco
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Gianfranco »

Complimenti Quelo,
contemplo attonito il tuo risultato.
Dunque hai lavorato anche il primo di maggio?
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Quelo
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Quelo »

Grazie per i complimenti.
Diciamo che il PC ha lavorato per me, stamattina ho riavviato la ricerca e dopo qualche ora è uscito il numero.
Non pensare però che io abbia un supercomputer, semplicemente ho elaborato una tecnica di ricerca che mi permette di trovare risultati in tempi relativamente brevi.
E' una cosa che faccio a tempo perso, giusto per dimostrare a me stesso che il metodo funziona.
[Sergio]

Pasquale
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Pasquale »

Quelo, alla fine ci dirai spero tutto quanto hai elaborato: il sito di calcolo che hai indicato, non ho capito se lo utilizzi come controllo finale o come base di partenza.
Inoltre, se dal sito si vuole scaricare un file col risultato completo e preciso del calcolo, mi pare di capire che vogliono essere pagati, altrimenti ti dice quanto è lungo il numero, come comincia e come finisce.

Ad ogni modo, quando giungerai a numeroni di circa 3, 4 e 5 milioni di cifre, fammi sapere se i rispettivi numeri simpatici saranno vicini ai valori approssimati, forse con leggero difetto, di 499.500.000, 666.000.000, 832.500.000 (trattasi di un gioco di previsione).
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Quelo
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Quelo »

Pasquale, come hai correttamente dedotto c'è una relazione tra la base e il risultato della potenza (o tra la base e l'esponente, se preferisci)
Ciò dipende dal fatto che, per numeri grandi, il valore medio delle terzine (cioè l'elemento che si ottiene dividendo il numero "per migliaia") è indicativamente di 499,5 (media dei valori da 0 a 999)
Poiché la somma di queste terzine deve dare la base, avremo la seguente relazione:

(log(p)+1)\,\frac{499,5}{3} \simeq b

dove p è la potenza, b è la base e log(p)+1 è (ovviamente) il numero di cifre della potenza

a questo punto anche l'esponente e è determinato

e = log_b(p) = \large\frac{log(p)}{log(b)} = \frac{\frac{3}{499,5}b-1}{log(b)}

per cui se vogliamo un numero di 5.000.000 di cifre la base sarà intorno a 832.500.000 e l'esponente intorno a 560514

Questo in teoria, nella realtà la media delle terzine, anche per numeri così grandi, varia tra 499 e 500 (per la maggior parte dei casi), quindi il campo di ricerca dei numeri simpatici è molto ampio.
All'inizio di questo studio avevo ricavato tutti i numeri per gli esponenti fino a 35 e mi ero accorto che alcuni esponenti sono più prolifici di altri (come segnalato anche da te), in particolare quelli nella forma 6k+1.
Estendendo la ricerca fino all'esponente 181 (limite delle 1000 cifre di Decimal Basic) ho riscontrato che gli esponenti più prolifici sono quelli nella forma 36k+1
Non ho avuto modo di testare l'esponente 217 ma tutto lascia supporre che la prolificità aumenti per gli esponenti nella forma k6^m+1

Trascurando le basi con lo 0 finale (che introducono molti 0 nella potenza), tutte le altre basi, a parità di esponente, sono distribuite tra un minimo e un massimo in modo, per così dire, "gaussiano", cioè più diradate agli estremi e più concentrate al centro.
Per cercare un numero simpatico scelgo quindi l'esponente tra quelli più prolifici, ricavo la base centrale e verifico i numeri nell'intorno.
Di norma basta testare qualche centinaio di numeri per trovare un risultato. Questa attività richiede qualche ora.

Per quanto riguarda il software non uso il sito di WolframAlpha, se non per controverifica, utilizzo invece Decimal Basic in combinazione con Extra Precisione Integer Calculator del prof. Harry J. Smith, che lavora con 134 milioni di cifre.
[Sergio]

Pasquale
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Pasquale »

Infatti, ho pensato che in un numero così lungo le terzine possono considerarsi generate come in modo casuale fra 000 e 999 e dunque con un valore medio di 499,5. Mi restava la quasi certezza che anche tu avessi ragionato allo stesso modo, considerato quanto avevi detto e considerato il breve lasso di tempo fra la scoperta di un simpatico ed il successivo.... non mi restava che lanciare le previsioni, per sondare il terreno :wink:
Bel lavoro, complimenti !


Ah, qualche chiarimento:

perché il numero delle cifre della potenza viene indicato con log(p)+1 ?

nell'esempio che hai fatto, confermi il valore 560514 per l'esponente?
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Quelo »

Lavorando con numeri così grandi ho dato per sottintesa l'approssimazione alla parte intera, l'equivalenza corretta sarebbe:

numero delle cifre di p = int(log(p))+1

Anche l'esponente è approssimato, infatti 832.500.000^560514 ha 5.000.001 cifre, mentre 832.500.000^560513 ne ha solo (per così dire) 4.999.992
[Sergio]

Pasquale
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Pasquale »

Si, si, d'accordo, ma formulo meglio la mia domanda, perché c'è qualcosa che mi sfugge o non so:

a parte gli arrotondamenti, perché il logaritmo naturale di una potenza mi dà il numero di cifre del risultato di tale potenza?

Inoltre, applicando la formula che ne risulta per l'esponente, utilizzando come calcolatrice Decimal Basic:

LET b=532500000
LET e=(3*b/499.5 -1)/LOG(b)
PRINT e

mi viene fuori 159168.980389884 e non 560.514, come invece dovrebbe essere; per cui o ho scritto male la routine, o Decimal Basic non è in grado di eseguire il calcolo, o la formula non funziona, o il sito di wolframalpha non dà risultati esatti.
Scommetto che ho scritto male la routine, ma per quanto banale, non riesco a trovare l'errore.
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Quelo »

La formula è giusta, solo che io uso log per il logaritmo in base 10 e ln per quello naturale, mentre sia Decimal Basic che WolframAlpha usano log per logaritmo naturale e log10 per quello in base 10.

Si potrebbe aprire una discussione su questo tipo di convenzioni, resta il fatto che a livello informatico la base naturale è sottintesa mentre quella decimale va esplicitata, per cui il programma sarà:

LET b=832500000
LET e=(3*b/499.5 -1)/LOG10(b)
PRINT e

attenzione che hai scritto 532500000 invece di 832500000
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Pasquale
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Pasquale »

Ok, grazie, non ci avevo pensato, perché avevi detto di usare Decimal Basic.
Si, anch'io usavo Log per la base 10, mentre per il naturale lg.
Per il resto, si, giusto: 832 e non 532.
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Re: Numeri simpatici

Messaggio da Quelo »

Ogni 5/10 anni diamo una rinfrescata a questa ricerca

$\displaystyle \large 831.499.072^{\,559.873}$

con 4.993.990 cifre
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