Dieci sacchi di monete - varianti

[Quelo]

Il problema classico è quello descritto al n. 22 della raccolta I quesiti più conosciuti nel mondo
La soluzione è nota.

Variante 1: Ci sono dieci sacchi di monete, ogni sacco può contenere o monete vere del peso di 10 grammi oppure monete false del peso di 9 grammi. Come posso individuare con una bilancia ad un solo piatto, con una sola pesata e senza l'aiuto di altri fattori, quanti e quali sacchi contengono le monete false?
(diamo per assodato che sia la quantità di monete che la precisione della bilancia siano adeguate allo scopo)

Variante 2: Ci sono dieci sacchi di monete, ogni sacco può contenere o monete vere del peso di 10 grammi oppure monete false leggere del peso di 9 grammi oppure monete false pesanti del peso di 11 grammi. Come posso individuare con una bilancia ad un solo piatto, con una sola pesata e senza l'aiuto di altri fattori, quanti e quali sacchi contengono le monete false? Mi conviene?

[Gianfranco]

Ciao Quelo,
Per il primo uso le potenze di 2.
Prendo 512, 256, 128, ..., 8, 4, 2, 1 monete in sequenza dai sacchi, procedendo da sinistra verso destra.
In tutto si prendono 1023 monete.
Peso le monete e sottraggo dal loro peso totale 1023*9 = 9207 g
Ottengo così il numero di monete da 10 g (e di conseguenza anche qello delle monete da 9 g).
Tale numero si può esprimere in modo unico come somma di potenze di 2.
Scrivo il numero in forma binaria e lo porto a 10 cifre inserendo eventuali zeri iniziali.
Associando ogni cifra a un sacco, da sinistra verso destra, deduco che ho pescato le monente ad 10 g dai sacchi che corrispondono alle cifre 1 del numero in questione.

Per il secondo... ci sto lavorando.

Ciao
Gianfranco

[Quelo]

Bravissimo !!!
Preciso e puntuale.

Avanti con il secondo allora.

[Pasquale]

Evidentemente non ho capito bene, perché qualcosa non mi convince:

il numero di monete iniziale contenuto in ciascun sacchetto è lo stesso in ognuno ed è almeno 512 ? E' sottinteso? Mi sbaglio?

[Quelo]

Ai fini del problema il numero di monete nei sacchi è irrilevante, si può considerare grande abbastanza da avere a disposizione tante monete quante ce ne servono per la nostra pesata.
Per esempio per la variante 1 un sacco contiene almeno 512 monete, uno almeno 256 e così via.
Lo stesso discorso vale per la bilancia, che è precisa a sufficienza.
Per esempio per la variante 1 la bilancia è in grado di pesare 10 kg di monete con la precisione di 1 grammo.

[Gianfranco]

Ciao Sergio,

Ieri sera ero a un concerto di piano quando la soluzione mi è venuta in mente all'improvviso!
Roba da battersi la mano sulla fronte come fa il tenente Colombo quando si accorge di qualcosa di elementare.

Allora...

a) Prima di tutto ho riformulato il problema mettendo dei dischetti numerati 1, 2, 3 al posto delle monete.
Ci sono dieci sacchi pieni di dischetti numerati.
Su ciascun dischetto è stampato un numero che può essere 1, 2 o 3.
Ogni sacco può contenere dischetti di un solo tipo.
Come posso individuare il tipo di dischetti che sta in ciascun sacco?
Naturalmente, per scoprirlo, non posso vedere i numeri stampati sui dischetti, ma devo inventare una strategia che sarà attuata da un'altra persona, la quale potrà soltanto estrarre opportunamente dei dischetti dai sacchi e dirmi un dato: la somma dei numeri di tutti i dischetti prelevati.

b) La soluzione si estende immediatamente a dischetti numerati da 1 a 9 e a un qualunque numero di sacchi.

c) La soluzione si estende facilmente a dischetti numerati da 1 a n e a un qualunque numero di sacchi.

Praticamente uso la notazione polinomiale dei numeri in base 10 (o in base n).

La strategia da proporre all'aiutante è questa:
Dal primo sacco preleva un dischetto, dal secondo prelevane 10, dal terzo 100, poi 1000, ... fino a 10^9.
Alla fine addiziona i numeri di tutti i dischetti prelevati e dimmi il totale.

La somma sarà un numero in cui compaiono solo le cifre 1, 2, 3.
Le cifre di tale numero mi rivelano il contenuto di ciascun sacco:
unità => 1° sacco
decine => 2° sacco
centinaia => 3° sacco
...

Come applicare questa straegia ai pesi delle monete?
a) prelevo 1, 10, 100, 1000, ... (da 10^0 a 10^9) monete in sequenza dai sacchi, per un totale di 1111111111 monete.
b) peso il tutto
c) sottraggo dal peso il numero 8*1111111111 = 8888888888 (è come se portassi le misure dei loro pesi ai valori 1, 2, 3).

d) Procedo come nel caso precedente ricordando che, nel numero ottenuto:
1 => sacco con monete da 9 g
2 => sacco con monete da 10 g
3 => sacco con monete da 11 g

Per esempio, la seguente sequenza di sacchi:
9 - 9 - 11 - 11 - 10 - 11 - 9 - 9 - 10 - 9

corrisponde al seguente risultato (da leggere da destra verso sinistra)
1211323311

Spero di essermi spiegato.
Salvo errori e omissioni.

Complimenti Sergio, due bei problemi da risolvere interamente a mente.

Ciao
Gianfranco.

[Quelo]

Bravo Gianfranco, il tuo ragionamento non fa una piega.
Complimenti anche per la generalizzazione, i due quesiti erano casi particolari di un problema più generale.

Naturalmente sono problemi teorici, perché pesare 1 miliardo di monete per un peso di circa 10.000 tonnellate con una bilancia precisa al grammo potrebbe risultare un po' difficile...

Nel secondo caso avremmo potuto operare anche in base 3 e cavarcela con "sole" 29524 monete (che sono sempre 300 kg!)
Prelevo le monete per potenze di 3, sottraggo il 29524 x 9 grammi e quello che rimane è un numero che espresso in base 3 ci dà la posizione delle monete.