Suppongo che la parola “anello” stia ad indicare una “corona circolare”.
Dato un cerchio, di raggio r, il problema consiste quindi nel determinare due corone circolari, la prima di raggi $r_{1}$ e $r_{2}$ , con $r_{1}<r_{2}$ , la seconda di raggi $r_{3}$ e $r_{4}$, con $r_{3}<r_{4}$.
Al momento la posizione relativa nel piano della circonferenza e delle due corone non ci interessa; solo i cerchi di raggi $r_{1}$ e $r_{2}$ devono essere concentrici per aversi la corona circolare, e altrettanto dicasi per i cerchi di raggi $r_{3}$ e $r_{4}$. In pratica, per semplificare le figure, possiamo ritenere che le cinque circonferenze siano tutte concentriche in quanto, a problema risolto, i vati elementi possono essere traslati dove si vuole. Qundi anche le precisazioni di “anello interno” e “anello esterno” non sono rilevanti.
Fatte queste precisazioni, il problema richiede che la somma delle aree delle due corone circolari sia equivalente a quella del cerchio di raggio r.
Deve quindi essere $\pi\cdot r^{2}=\pi\left(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\right)+\pi\left(r_{4}^{2}-r_{3}^{2}\right)$ ovvero $r^{2}=r_{2}^{2}-r_{1}^{2}+r_{4}^{2}-r_{3}^{2}$ .
Da quest'ultima si può ricavare allora $r_{4}^{2}=r^{2}+r_{1}^{2}+r_{3}^{2}-r_{2}^{2}$.
Dai quattro segmenti di lunghezze rispettive $r, r_{1} , r_{2} , r_{3}$, con la semplice costruzione di tre triangoli rettangoli in successione si può costruire $r_{4}$.
Si costruisce il triangolo ABC rettangolo in A con AB=r e $AC=r_{3}$. Allora $CB^{2}=r^{2}+r_{3}^{2}$.
Si costruisce il triangolo CBE rettangolo in B con $BE=r_{1}$. Allora $CE^{2}=CB^{2}+r_{1}^{2}=r^{2}+r_{3}^{2}+r_{1}^{2}$.
Si costruisce il triangolo CEH rettangolo in H con $EH=r_{2}$. Allora $CH^{2}=CE^{2}-r_{2}^{2}=r^{2}+r_{3}^{2}+r_{1}^{2}-r_{2}^{2}$.
Quindi CH è il raggio $r_{4}$ cercato.
Una volta ottenuti i cinque raggi si possono costruire, a piacere, il cercho e i due anelli.
Partendo dalla costruzione precedente ho costruito la seguente figura
riportando a partire da A i raggi $r_{1}$ $r_{2}$ e $r_{4}$ e tracciando i cerchi.
La somma delle superfici delle corone circolari rossa e blu equivale alla suprficie del cerchio intermedio.
Non è neanche detto che gli “anelli” debbano essere delle corone circolari.
Costruendo i raggi con la tecnica precedente si può tracciare la figura seguente
Anche in questo caso la somma delle superfici della zona rossa e di quella blu equivale alla superfice del cerchio intermedio.
P.S. Per fare le figure ho usato Wingeom col quale mi trovo più a mio agio. E' tuttavia chiaro che le medesime costruzioni si pssono ripetere in Geogebra.
Inoltre non è proprio necessario effettuare la costruzione preliminare dei raggi. Con programmi come Geogebra (o Wingeom) il raggio $r_{4}$ si può calcolare direttamente dalla formula a partire da $r, r_{1} , r_{2} , r_{3}$.
Spero di essere stato chiaro e di non aver commesso errori.