senx+ cosx
Inviato: ven dic 16, 2005 2:00 am
Dimostrare che $(senx + cosx)^4 \le 4$
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senx+ cosx
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Inviato: ven dic 16, 2005 7:05 am
perché?
Inviato: ven dic 16, 2005 7:08 am
La somma cos x + sin x raggiunge il suo massimo per x = 45°, dove è uguale alla radice quadrata di 2.
Elevando il tutto alla 4ª si ottiene che (cos x + sin x)^4 al più vale 4.
Credo...
Ma ripeto poiché non mi è chiaro:
perché?
Elevando il tutto alla 4ª si ottiene che (cos x + sin x)^4 al più vale 4.
Credo...
Ma ripeto poiché non mi è chiaro:
perché?
Inviato: lun dic 19, 2005 5:33 pm
...
D'accordissimo con il risultato di Antonio.
Penso che si potrebbe dimostrare l'affermazione di Dotto anche così.
Innanzitutto parto dall'identità algebrica:
$\displaystyle p^2 = (p+q)^2 -2pq - q^2.$
In essa faccio due sostituzioni:
. al posto di p scrivo il quadrato $\displaystyle \, (senx+cosx)^2 ,$
. al posto di q, invece, scrivo il quadrato $\displaystyle \, (senx-cosx)^2 .$
Quindi riduco il primo termine del membro destro:
$\displaystyle (p+q)^2 = [(senx+cosx)^2+(senx-cosx)^2]^2,$
sapendo che $\displaystyle sen^2x+cos^2x =1$, e così ottengo la seguente uguaglianza:
$\displaystyle (senx+cosx)^4 = 4 -2\cdot (senx+cosx)^2\cdot (senx-cosx)^2 - (senx-cosx)^4.$
Pertanto, il valore massimo raggiunto da $\displaystyle \, (senx+cosx)^4 \,$ è $\displaystyle \, 4 \,$ e ciò si
verifica quando i due termini sottratti sono nulli (visto che non possono essere
negativi, essendo formati da seconde e quarte potenze), cioè quando:
$\displaystyle senx=cosx.$
Diversamente, $\displaystyle \, (senx+cosx)^4 \, < \, 4 \,$.
Se&o ---
Bruno
D'accordissimo con il risultato di Antonio.
Penso che si potrebbe dimostrare l'affermazione di Dotto anche così.
Innanzitutto parto dall'identità algebrica:
$\displaystyle p^2 = (p+q)^2 -2pq - q^2.$
In essa faccio due sostituzioni:
. al posto di p scrivo il quadrato $\displaystyle \, (senx+cosx)^2 ,$
. al posto di q, invece, scrivo il quadrato $\displaystyle \, (senx-cosx)^2 .$
Quindi riduco il primo termine del membro destro:
$\displaystyle (p+q)^2 = [(senx+cosx)^2+(senx-cosx)^2]^2,$
sapendo che $\displaystyle sen^2x+cos^2x =1$, e così ottengo la seguente uguaglianza:
$\displaystyle (senx+cosx)^4 = 4 -2\cdot (senx+cosx)^2\cdot (senx-cosx)^2 - (senx-cosx)^4.$
Pertanto, il valore massimo raggiunto da $\displaystyle \, (senx+cosx)^4 \,$ è $\displaystyle \, 4 \,$ e ciò si
verifica quando i due termini sottratti sono nulli (visto che non possono essere
negativi, essendo formati da seconde e quarte potenze), cioè quando:
$\displaystyle senx=cosx.$
Diversamente, $\displaystyle \, (senx+cosx)^4 \, < \, 4 \,$.
Se&o ---
Bruno