Distanza min&max
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Distanza min&max
Salve a tutti.
Mi è stato posto il seguente quesito:
Sia data una circonferenza di centro C e raggio r e siano A e B due punti qualsiasi interni alla circonferenza.
Trovare, graficamente, i punti P sulla circonferenza tale che la somma AP+BP sia minima e massima.
Edmund.
Mi è stato posto il seguente quesito:
Sia data una circonferenza di centro C e raggio r e siano A e B due punti qualsiasi interni alla circonferenza.
Trovare, graficamente, i punti P sulla circonferenza tale che la somma AP+BP sia minima e massima.
Edmund.
Re: Distanza min&max
Non so se per "trovare graficamente" si intende con la riga e il compasso, se no con geogebra si fa in un attimo.
Edit: Ho inserito un'applet di Geogebra, muovere il punto P finché le due rette tangenti non si sovrappongono
Edit: Ho inserito un'applet di Geogebra, muovere il punto P finché le due rette tangenti non si sovrappongono
Ultima modifica di Quelo il gio giu 07, 2012 11:50 pm, modificato 2 volte in totale.
[Sergio] / $17$
Re: Distanza min&max
Bravo!
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Re: Distanza min&max
Ottima soluzione Quelo, non avevo assolutamente pensato all'ellisse.
Propongo la mia soluzione con geogebra, che può essere fatta anche con riga e compasso:
1) prendo un punto P sulla circonferenza di raggio R
2) traccio le circonferenze di centro C passanti per i punti A e B
3) traccio la retta passante per C e P
4) da A e B traccio le rette perpendicolari alla CP, siano A' e B' le intersezioni con le circonferenze per A e B
5) traccio le rette passanti per i punti A,B' e A',B
6) sia P' il punto di intersezione delle tre rette per CP, AB' e A'B
7) muovo P sulla circonferenza in modo tale che P' si sovrapponga a P ed essere così in presenza della condizione di minimo o di massimo della
saluti da Edmund.
Propongo la mia soluzione con geogebra, che può essere fatta anche con riga e compasso:
1) prendo un punto P sulla circonferenza di raggio R
2) traccio le circonferenze di centro C passanti per i punti A e B
3) traccio la retta passante per C e P
4) da A e B traccio le rette perpendicolari alla CP, siano A' e B' le intersezioni con le circonferenze per A e B
5) traccio le rette passanti per i punti A,B' e A',B
6) sia P' il punto di intersezione delle tre rette per CP, AB' e A'B
7) muovo P sulla circonferenza in modo tale che P' si sovrapponga a P ed essere così in presenza della condizione di minimo o di massimo della
saluti da Edmund.
Re: Distanza min&max
Mi accorgo solo adesso che non compaiono altre cose che avevo scritto, riscrivo:
Propongo la mia soluzione con geogebra, che può essere fatta anche con riga e compasso:
1) prendo un punto P sulla circonferenza di raggio R
2) traccio le circonferenze di centro C passanti per i punti A e B
3) traccio la retta passante per C e P
4) da A e B traccio le rette perpendicolari alla CP, siano A' e B' le intersezioni con le circonferenze per A e B
5) traccio le rette passanti per i punti A,B' e A',B
6) sia P' il punto di intersezione delle tre rette per CP, AB' e A'B
7) muovo P sulla circonferenza in modo tale che P' si sovrapponga a P ed essere così in presenza della condizione di minimo o di massimo della distanza AP+BP
da notare il luogo geometrico descritto dal punto P' (sembrerebbe una strofoide)
In base alla posizione dei punti A e B vi possono essere anche dei punti P di min e max relativo, in questo caso la curva descritta da P' inerseca la circonferenza quattro volte; in altre condizioni, A e B sullo stesso diametro, la curva descritta da P' si riduce ad una circonferenza; etc.
Propongo la mia soluzione con geogebra, che può essere fatta anche con riga e compasso:
1) prendo un punto P sulla circonferenza di raggio R
2) traccio le circonferenze di centro C passanti per i punti A e B
3) traccio la retta passante per C e P
4) da A e B traccio le rette perpendicolari alla CP, siano A' e B' le intersezioni con le circonferenze per A e B
5) traccio le rette passanti per i punti A,B' e A',B
6) sia P' il punto di intersezione delle tre rette per CP, AB' e A'B
7) muovo P sulla circonferenza in modo tale che P' si sovrapponga a P ed essere così in presenza della condizione di minimo o di massimo della distanza AP+BP
da notare il luogo geometrico descritto dal punto P' (sembrerebbe una strofoide)
In base alla posizione dei punti A e B vi possono essere anche dei punti P di min e max relativo, in questo caso la curva descritta da P' inerseca la circonferenza quattro volte; in altre condizioni, A e B sullo stesso diametro, la curva descritta da P' si riduce ad una circonferenza; etc.
Re: Distanza min&max
Edmund, credo che la tua impeccabile rappresentazione grafica dinamica possa rappresentare un esempio apprezzabile, nella sua spettacolarità, della bellezza della geometria...
"L'essenza della matematica è la libertà" (Georg Cantor)
Re: Distanza min&max
Ho ricavato l'equazione del luogo geometrico descritto dal punto P (strofoide obliqua ):
$x^2(Ax+C)+xy(Bx+D+Ay)+y^2(By-C)=0$
con
$A=y_{a}+y_{b}$
$B=-(x_{a}+x_{b})$
$C=-(x_{a}y_{b}+x_{b}y_{a})$
$D=2(x_{a}x_{b}-y_{a}y_{b})$
$x_{a},y_{a}$ coordinate del punto A
$x_{b},y_{b}$ coordinate del punto B
l'equazione è indipendente dal raggio della circonferenza.
$x^2(Ax+C)+xy(Bx+D+Ay)+y^2(By-C)=0$
con
$A=y_{a}+y_{b}$
$B=-(x_{a}+x_{b})$
$C=-(x_{a}y_{b}+x_{b}y_{a})$
$D=2(x_{a}x_{b}-y_{a}y_{b})$
$x_{a},y_{a}$ coordinate del punto A
$x_{b},y_{b}$ coordinate del punto B
l'equazione è indipendente dal raggio della circonferenza.
Re: Distanza min&max
A proposito di strofoide:
Strofoide retta arcobalenizzata (ritengo, così, di omaggiare la bellezza della geometria)
Strofoide retta arcobalenizzata (ritengo, così, di omaggiare la bellezza della geometria)
"L'essenza della matematica è la libertà" (Georg Cantor)
Re: Distanza min&max
Ciao Ivana, molto bella la tua strofoide arcobalenizzata, hai usato i colori dinamici?
torno alla mia strofoide:
Una forma più compatta dell'equazione è:
$(x^2+y^2)(Ax+By)=y(Cy-Dx)$
La seguente applet di Geogebra include il luogo geometrico descritto dal solito punto P, la curva relativa
all'equazione sopra scritta (coincide perfettamente), e un grafico di una strofoide obliqua da adattare alle curve
precedenti giocando con i punti D ed E e lo slider dell'angolo alfa.
torno alla mia strofoide:
Una forma più compatta dell'equazione è:
$(x^2+y^2)(Ax+By)=y(Cy-Dx)$
La seguente applet di Geogebra include il luogo geometrico descritto dal solito punto P, la curva relativa
all'equazione sopra scritta (coincide perfettamente), e un grafico di una strofoide obliqua da adattare alle curve
precedenti giocando con i punti D ed E e lo slider dell'angolo alfa.
Re: Distanza min&max
Devo fare una correzione sulla forma compatta dell'equazione:
$(x^2+y^2)(Ax+By)=C(y^2-x^2)-Dxy$
Inoltre ho ricavato l'equazione dell'asintoto:
$y=-\frac{A}{B}x+\frac{A^2C+ABD-B^2C}{B(A^2+B^2)}$
ricordando che
$A=y_{a}+y_{b}$
$B=-(x_{a}+x_{b})$
$C=-(x_{a}y_{b}+x_{b}y_{a})$
$D=2(x_{a}x_{b}-y_{a}y_{b})$
$x_{a},y_{a}$ coordinate del punto A
$x_{b},y_{b}$ coordinate del punto B
In definitiva, dati due punti qualsiasi del piano A e B è sempre possibile determinare l'equazione della strofoide passante per A e B e avente il nodo nell'origine degli assi.
$(x^2+y^2)(Ax+By)=C(y^2-x^2)-Dxy$
Inoltre ho ricavato l'equazione dell'asintoto:
$y=-\frac{A}{B}x+\frac{A^2C+ABD-B^2C}{B(A^2+B^2)}$
ricordando che
$A=y_{a}+y_{b}$
$B=-(x_{a}+x_{b})$
$C=-(x_{a}y_{b}+x_{b}y_{a})$
$D=2(x_{a}x_{b}-y_{a}y_{b})$
$x_{a},y_{a}$ coordinate del punto A
$x_{b},y_{b}$ coordinate del punto B
In definitiva, dati due punti qualsiasi del piano A e B è sempre possibile determinare l'equazione della strofoide passante per A e B e avente il nodo nell'origine degli assi.
Re: Distanza min&max
Grazie, Edmund, sì uso volentieri i colori dinamici... Complimenti a te per le tue splendide realizzazioni matematiche con geogebra!
Ora, giocando con la strofoide, ho realizzato la strofoide retta lampeggiante Potete muovere il cursore dello slider e si può anche bloccare (e riaccendere) il lampeggiamento cliccando sul pulsante in basso a sinistra.
Ora, giocando con la strofoide, ho realizzato la strofoide retta lampeggiante Potete muovere il cursore dello slider e si può anche bloccare (e riaccendere) il lampeggiamento cliccando sul pulsante in basso a sinistra.
"L'essenza della matematica è la libertà" (Georg Cantor)
Re: Distanza min&max
Spero di non annoiarvi, ma volevo mostrare la curva strofoide nel caso più generale, cioè con nodo (punto O(xo,yo)) non vincolato a stare sull'origine degli assi. Nell'applet è rappresentato anche l'asintoto e il polo della strofoide.
Non ho trovato in rete equazioni cartesiane di strofoidi in casi generali; su wikipedia inglese alla voce strophoid (http://en.wikipedia.org/wiki/Strophoid" target="_blank" target="_blank" target="_blank" target="_blank" target="_blank" target="_blank) è riportata l'equazione cartesiana di una strofoide obliqua con asintoto orizzontale (y=b),
$y(x^2+y^2)=b(x^2-y^2)+2cxy$
che è un caso particolare dell'equazione scritta in precedenza da me,
$(x^2+y^2)(Ax+By)=C(y^2-x^2)-Dxy$
cioè per
A=0
B=1
C=-b
D=-2c
In questo caso la strofoide dipende solo dalle coordinate del nodo e da quelle di un solo punto (A o B)
Mi chiedo se la strofoide dell'applet rappesenta tutte le infinite strofoidi del piano xy, e se, dato un qualsiasi punto nodo O e una qualsiasi coppia di punti A e B, per essi passa una e una sola strofoide; inoltre come definire i "punti notevoli" A e B? purtroppo ho poco dimestichezza con tali curve.
Saluti da Edmund
Non ho trovato in rete equazioni cartesiane di strofoidi in casi generali; su wikipedia inglese alla voce strophoid (http://en.wikipedia.org/wiki/Strophoid" target="_blank" target="_blank" target="_blank" target="_blank" target="_blank" target="_blank) è riportata l'equazione cartesiana di una strofoide obliqua con asintoto orizzontale (y=b),
$y(x^2+y^2)=b(x^2-y^2)+2cxy$
che è un caso particolare dell'equazione scritta in precedenza da me,
$(x^2+y^2)(Ax+By)=C(y^2-x^2)-Dxy$
cioè per
A=0
B=1
C=-b
D=-2c
In questo caso la strofoide dipende solo dalle coordinate del nodo e da quelle di un solo punto (A o B)
Mi chiedo se la strofoide dell'applet rappesenta tutte le infinite strofoidi del piano xy, e se, dato un qualsiasi punto nodo O e una qualsiasi coppia di punti A e B, per essi passa una e una sola strofoide; inoltre come definire i "punti notevoli" A e B? purtroppo ho poco dimestichezza con tali curve.
Saluti da Edmund