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Il Teorema di Rouché

Inviato: mer feb 01, 2012 9:40 pm
da David
Il matematico francese Eugene Rouché (1832-1910) dimostrò questo importante teorema dell'analisi complessa:

"Siano G(z) e F(z) due funzioni di variabile complessa z (X+iY), analitiche dentro e lungo una linea semplice chiusa C, e sia
|G(z)|<|F(z)| lungo tutta la frontiera C, allora H(z),ove H(z)=G(z)+F(z),e F(z) hanno dentro C lo stesso numero di zeri"



Oggi uno studente facendo fede sulle parole dell'enunciato sovraesposto,ha fatto notare che ciascuna delle soluzioni (reale o complessa)
dell'equazione:

x^5-x^4-2x^3+3x+81=0

è tale che il suo valore assoluto risulta: 3>|x|>2

Ripercorriamo le note esposte dallo studente.

Bye David

Re: Il Teorema di Rouché

Inviato: sab feb 04, 2012 12:22 pm
da karl
Spero di aver capito bene questo teorema.Se mi è concesso uso la "z" al posto della "x" nell'equazione proposta. Allora la relazione |z| <2 rappresenta l'interno della circonferenza di centro l'origine del piano complesso e di raggio 2,mentre |z|=2 è proprio la circonferenza, che chiameremo \large \gamma_1 .Analogamente per la circonferenza |z|=3, che chiameremo \large \gamma_2.

A)Considero dapprima la relazione |z|<3
Pongo:
\large F(z)=z^5,G(z)=-z^4-2z^3+3z+81,H(z)=F(z)+G(z)=z^5-z^4-2z^3+3z+81
Su \large \gamma_2 risulta:
\large |F(z)|=|F(3)|=3^5=243,|G(z)|=|G(3)|=|-81-54+9+81|=45<243
Pertanto su \large \gamma_2 sono soddisfatte tutte le condizioni del Teorema di Rouché e dunque H(z) ha dentro la \large \gamma_2 tante radici quante ne ha la F(z).
Ma le radici della F(z) si riducono a z=0 con molteplicità 5 e dunque anche la H(z) ha ,dentro tale circonferenza, altrettante radici soddisfacenti quindi la condizione |z|<3.

B) Considero ora la relazione |z|>2
Pongo:
\large F(z)=-z^4+81,G(z)=z^5-2z^3+3z,H(z)=F(z)+G(z)=z^5-z^4-2z^3+3z+81
Su \large \gamma_1 risulta:
\large |F(z)|=|F(2)|=|-2^4+81|=65,|G(z)|=|G(2)|=|2^5-2^4+6|=22<65
Pertanto su \large \gamma_1 sono soddisfatte tutte le condizioni del Teorema di Rouché e dunque H(z) ha dentro la \large \gamma_1 tante radici quante ne ha la F(z).
Ma le radici della F(z) sono \large \pm3,\pm 3i il cui modulo è 3 >2.Ciò significa che la F(z) ha zero radici interne ,ovvero ha tutte le radici esterne alla circonferenza in questione.Ed anche la H(z) ha
le sue radici esterne a \large \gamma_1,ovvero soddisfacenti la condizione |z|>2.

In definitiva ,mettendo insieme la (A) e la (B), si può concludere che le radici di H(z) hanno moduli tutti interni all'intervallo (2,3).
Q.E.D.

Re: Il Teorema di Rouché

Inviato: sab feb 04, 2012 6:10 pm
da David
Ottimo Karl,questo il ragionamento corretto per arrivare dritti dritti alla soluzione!