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Luogo del vertice

Inviato: mer gen 18, 2012 4:13 pm
da karl
Si consideri il triangolo ABC il cui lato AB è fisso ed ha una lunghezza costante a, mentre il vertice C è variabile nel piano del triangolo.
Determinare il luogo di C sapendo che ( al variare di C) l'altezza BD ,relativa al lato AC, è in lunghezza sempre uguale alla mediana AE relativa al lato BC.
Mi interesserebbe vederne la soluzione con GeoGebra.Volete provarci ?

Re: Luogo del vertice

Inviato: gio feb 02, 2012 6:56 pm
da vittorio
Risolvo innanzitutto il problema della costruzione geometrica di un triangolo ABC che abbia la mediana AE uguale alla altezza BD.

Traccio il segmento AB e ne costruisco il punto medio M.
Traccio la circonferenza K1 di centro M e raggio MA.
Su K1 considero un punto arbitrario D.
Traccio la retta AD e il segmento BD.
Con centro in A traccio la circonferenza K2 di raggio BD.
Da M traccio la parallela ad AD che incontra la K2 nei punti E1 ed E2.
Traccio la retta BE1 che incontra la retta AD in C1.
Analogamente traccio la retta BE2 che incontra la retta AD in C2.

I triangoli ABC1 e ABC2 sono i triangoli richiesti. Infatti:

BD è l'altezza tracciata da B in quanto ADB è inscritto in una semicirconferenza.
Essendo AM=MB e AC1 parallelo a ME1 allora C1E1=E1B, quindi AE1 è la mediana tracciata da A.
Ma, per costruzione, AE1=BD quindi ABC1 è un triangolo cercato. Analogamente dicasi per ABC2.

A questo punto, poiché la costruzione dei punti C1 e C2 dipende dal punto D, variabile sulla K1, possiamo ordinare a Geogebra di tracciare i luoghi descritti da C1 e C2, utilizzando i comandi: luogo[C1,D] e luogo[C2,D].
La figura seguente illustra la costruzione: premere esegui per vedere il disegno che si genera automaticamente oppure sviluppare i singoli passi coi tasti freccia. Si può anche muovere col mouse il punto D per vedere come C1 e C2 si muovono sul luogo.
Dalla figura si vede anche che il luogo è simmetrico rispetto alla retta AB.

Questa è un'Applet Java creata con GeoGebra da www.geogebra.org - Java non risulta installato sul computer in uso - fare riferimento a www.java.com

In apparenza il luogo sembra costituito da due circonferenze, ma apparenza non significa dimostrazione. Per avere un conferma ulteriore ho costruito un'altra figura a partire dalla precedente in cui, per chiarezza, ho nascosto alcuni elementi. Ho inserito il punto H, ulteriore intersezione del luogo con la retta AB, in apparenza simmetrico di B rispetto a A, ed ho considerato gli angoli HC1A e AC2H. Le misure che tali angoli assumono facendo variare D col mouse, portano a confermare l'ipotesi che si tratti effettivamente di due circonferenze.

Questa è un'Applet Java creata con GeoGebra da www.geogebra.org - Java non risulta installato sul computer in uso - fare riferimento a www.java.com


Per dimostrarlo però ho fatto ricorso alla geometria analitica.

Considero A(-a/2,0) e B(a/2,0); il medio di AB, diviene quindi il centro degli assi: M(0,0). Considero quindi un generico punto C(u,v).
Si ricava:
- retta AC: 2vx-y(a+2u)+av=0
- perpendicolare da B ad AC: y=\frac{(a+2u)(a-2x)}{4v}
- piede D dell'altezza da B ad AC: (\frac{a(a^2+4au+4(u^2-v^2))}{2(a^2+4au+4(u^2+v^2))},\frac{2av(a+2u)}{a^2+4au+4(u^2+v^2)}
- quadrato dell'altezza BD: BD^2=\frac{4a^2v^2}{a^2+4au+4(u^2+v^2)}
- punto medio E di BC: (\frac{a+2u}{4},\frac{v}{2})
- quadrato della mediana AE: AE^2=\frac{9a^2+12au+4u^2+4v^2}{16}
Uguagliando le espressioni dei due quadrati e semplificando si ottiene la condizione per cui AE e BD abbiano la stessa lunghezza. Per capirci meglio sostituisco u con x e v con y e ottengo l'equazione del luogo descritto da C:

16x^4+64ax^3+32x^2y^2+88a^2x^2+64axy^2+48a^3x+16y^4-24a^2y^2+9a^4=0

Si tratta di una quartica simmetrica, a conferma di quanto osservato in precedenza, con rispetto all'asse delle x in quanto la coordinata y figura solo con esponenti pari.
Tale quartica è tuttavia degenere in qunto può scomporsi in

(4x^2+8ax+4y^2-4ay\sqr{3}+3a^2)(4x^2+8ax+4y^2+4ay\sqr{3}+3a^2)=0

e risulta quindi composta da due circonferenze.
Entrambe passano per i punti A(-a/2,0) e H(-3a/2,0), ed hanno centro rispettivamente in K1(-a,\frac{a\sqr{3}}{2}) e K2(-a,-\frac{a\sqr{3}}{2}).

E' facile verificare che i triangoli HK1A e HK2A sono entrambi equilateri di lato a.
Tenendo conto della simmetria osservata, l'ultima figura è costruita a partire dalla prima delle due circonferenze del luogo (quella col centro nel semipiano positivo delle y). Spostando col mouse il punto C sulla circonferenza si verfica che i segmenti BD e AE hanno la stessa lunghezza.

Questa è un'Applet Java creata con GeoGebra da www.geogebra.org - Java non risulta installato sul computer in uso - fare riferimento a www.java.com

Spero di non essere stato troppo prolisso ma abbastanza chiaro e soprattutto di non aver commesso errori.

Re: Luogo del vertice

Inviato: sab feb 04, 2012 10:38 am
da karl
Io ero arrivato fino ad un certo punto ma la tua risposta è praticamente perfetta.Complimenti!