confronto di potenze

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Biancaneve

confronto di potenze

Messaggio da Biancaneve »

Dimostrare che per ogni n intero positivo:

$n^{\frac {1}{n}} < 1 + (\frac {2}{n})^{\frac {1}{2}}$

Bruno
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Messaggio da Bruno »

...

Questo problema mi ha un po' frenato.
Non sapevo come entrare nella sua affermazione, ma soprattutto non volevo
affrontarlo ricorrendo direttamente ad alcuni risultati noti.
Dico quindi grazie a chi lo ha proposto, per essermi sentito stimolato a cercare
altri percorsi.
Spiegherò le mie considerazioni imponendomi di essere il più chiaro possibile
e di ridurre al minimo i passaggi omessi.
;)


Innanzitutto, ho tradotto il quesito in questa forma:

$\displaystyle n \, \, 0 \,\, ,$

ottenendo successivamente:

$\displaystyle \left(1+sqrt{\frac{2}{n}}\right)^{r+1} \ge \left(1+\frac{r\cdot (r-1)}{n}+r\cdot sqrt{\frac{2}{n}}\right)\cdot \left(1+sqrt{\frac{2}{n}} \right) = 1+ \frac{(r+1)\cdot r}{n}+(r+1)\cdot sqrt{\frac{2}{n}}+\frac{r\cdot (r-1)}{n}\cdot sqrt{\frac{2}{n}} \,\,$.

Il termine $\displaystyle \, \frac{r\cdot(r-1)}{n}\cdot sqrt{\frac{2}{n}} \,$ non è negativo.

Questo significa che la sua eliminazione non indebolisce la disuguaglianza, cioè:

$\displaystyle \left(1+sqrt{\frac{2}{n}}\right)^{r+1} \ge 1+ \frac{(r+1)\cdot r}{n}+(r+1)\cdot sqrt{\frac{2}{n}} \,\,$.

Ma significa anche che la (1) vale per tutti gli esponenti interi e positivi, in quanto
siamo appena passati da uno qualsiasi di essi ($\displaystyle r$) a quello che viene subito
dopo ($\displaystyle r+1$).

L'idea era giusta. Ho così stabilito che, quando $\displaystyle \alpha$ è un numero intero e positivo,
la disuguaglianza

$\displaystyle \left(1+sqrt{\frac{2}{n}} \right)^ \alpha \ge 1+\frac{\alpha\cdot (\alpha-1)}{n}+\alpha\cdot sqrt{\frac{2}{n}}$

è sempre vera.
(In realtà, la disuguaglianza è vera anche per $\displaystyle \alpha$ nullo.)

Dopo di che, ho sostituito $\displaystyle \alpha$ con $\displaystyle n$ ed è saltato fuori questo:

$\displaystyle \left(1+sqrt{\frac{2}{n}} \right)^n \ge 1+\frac{n\cdot (n-1)}{n}+n\cdot sqrt{\frac{2}{n}} = n+n\cdot sqrt{\frac{2}{n}} \,\,$.

Il termine $\displaystyle \, n\cdot sqrt{\frac{2}{n} \,}$ è senz'altro positivo, rispetto all' $\displaystyle n$ definito nel testo del
problema, e ignorarlo equivale allora a rafforzare la disuguaglianza.
Dunque:

$\displaystyle \left(1+sqrt{\frac{2}{n}}\right)^n \, > \, n \, , \,$ ossia: $\displaystyle \,\, 1+\left( \frac{2}{n} \right)^{\frac{1}{2}} \, > \, n^{\frac{1}{n}}\,$,

per qualunque $\displaystyle n$ intero e positivo.

Ma la (1) ha una conseguenza ancor più interessante del problema appena
dimostrato, si tratta della disuguaglianza:

$\displaystyle 1+\left( \frac{2}{n+1} \right)^{\frac{1}{2}} \, \ge \, (n+1)^{\frac{1}{n}}\,$,

sicuramente più forte.

> Come sempre, salvo errori & omissioni---

Un saluto a tutti!

;) Bruno


PS - Prima di affrontare la questione, mi è capitato di vedere altri tipi di soluzioni
basate su risultati più o meno noti, come la disuguaglianza di Bernoulli (per es. qui)
oppure la formula binomiale, che naturalmente ho voluto evitare.
Ultima modifica di Bruno il lun apr 03, 2006 10:15 am, modificato 7 volte in totale.

Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Caspiterina!
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$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

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