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Babbo Natale è arrivato per elargire caramelle a dei bambini che lo attendevano trepidanti.

Ha nel sacco dei sacchetti di caramelle ognuno contenente lo stesso numero di caramelle e casualmente il numero di esse contenute in ciascun sacchetto è pari al numero di sacchetti.

Se distribuisse il contenuto di un solo sacchetto ogni bambino avrebbe una caramella a testa e avanzerebbero 11 di esse.

Elargendo invece tutte le caramelle in suo possesso,distribuendole equamente fra gli stessi bambini,alla fine egli ne avanza K .(ovviamente sarà k< numero di bambini)

Considerando che esiste un solo Babbo Natale, determinare per quale valore k il numero di bimbi sarà minimo.

A tutti tanti auguri di un lieto Natale e prospero anno nuovo!

cominciamo dall'inizio:
se, una volta data una caramella a testa, ne avanzano 11, i bimbi sono almeno 12
Di conseguenza le caramelle in ogni sacchetto, erano 23, e in totale 529 (in fondo vi spiego il mio metodo per calcolare 23 al quadrato senza carta e penna)
529 diviso 12 ha resto 1
Mi sembra che i valori minimi sia per k che per il numero di caramelle che per il numero di bambini siano questi
SE&O

Non so a memoria il valore di 23^2, ma conosco, nei paraggi, 25^2 che è 625. Per passare da un quadrato a quello adiacente basta aggiungere, o sottrarre, ila radice di partenza e quella di arrivo. Dovendo fare questo passo due volte per passare a 24^2 e da lì a 23^2, devo sottrarre a 625 la somma di (25+24+24+23) che è 24x4, che equivale a 25x4 meno 4. cioè 625-96. che si calcola più facilmente eseguendo due operazioni in sequenza: 625 - 100 = 525 e poi 525 + 4 er giungere a 529.
A scriverla, la procedura è piuttosto lunga; e forse non risulta neanche chiarissima. ma in realtà il tutto si compie in molto meno tempo che scrivere la moltiplicazione su carta...

Enrico il ragionamento è certamente corretto,ma viola l'unicità di Babbo Natale poichè K=1 è valido anche per 20 bambini e 31 caramelle per sacchetto,sostanzialmente bisogna trovare un resto k che sia abbinabile ad un solo gruppo di bambini e in presenza di più k con tali caratteristiche si prende quello abbinato al numero minore di bambini.
Il considerare che esiste un solo Babbo Natale è riferito a ciò,effettivamente era tutto un pò troppo criptico e indefinito,ma era solo per dare un tono fiabesco al problema,in fondo Babbo Natale arriva solo una volta all'anno!
Bye David

23^2 lo faccio col quadrato del binomio:

3^2 = 9
2(2x3)=2 col riporto di 1
2^2+1=5

totale: 5 2 9

2323^2:

23^2 =29 col riporto di 5
2(23x23)+5=1058+5=63 col riporto di 10
23^2=529+10=539

totale: 539 63 29

Ciao David, Delfo, Pasquale,

provo a rispondere con un ragionamento corredato da casistica.

Denoto con $b$ il numero dei bambini e con $n$ il numero delle caramelle in ogni sacchetto.

$n=b+11$

$n^2 \bmod {b} = k$

$(b+11)^2 \bmod {b} = k$

$121 \bmod {b} = k$

Mi sembra che la soluzione buona sia questa.
$121 \bmod {61} = 60$

Ovvero: 72 caramelle in ogni sacchetto e 61 bambini.

Perché escludo gli altri numeri?
(1) Se b varia da 62 a 121, k prende tutti i valori da 59 a 0.
(2) Se b varia da 12 a 60, k prende certamente dei valori compresi fra 1 e 59, i quali perciò sono duplicati per il ragionamento (1), il che contraddice l'unicità di Babbo Natale.
(3) Ogni eventuale soluzione >61 è scartabile perché è più grande di 61.
Inoltre b<=121 perché da 122 in avanti k=121

Resta da provare che k=60 è unico.

Cavolo, proprio ora mi si è rotta la tastiera, non riesco più a scrivere!
Buon anno a tutti!
Gianfranco

Grazie Gianfranco, buon 2012.

Ciao a tutti,
David, poiché non sono sicuro della mia soluzione, ti chiedo per favore di confermarla o smentirla, quando hai un po' di tempo.

Gianfranco

Ma come, ragazzi. Non vi riesce proprio di immaginare il nostro Delfo, vestito da Babbo Natale e attorniato dai suoi dodici nipoti, frugare nel suo sacco e dire (tra sé e sé): “La Maiala! Ho sbagliato...”. E poi (rivolto ai bambini con un sorriso): “Ecco, cari, un sacchetto di caramelle per ciascuno di voi.”
Ma, dei bimbi, qualcuno esclama: “Ehi! Il sacco non è vuoto”; ed ecco Delfo che mette mano ad uno degli undici sacchetti che gli sono rimasti e distribuisce una caramella a testa, mettendo il resto (undici) sul tavolo.
E i fanciulli: “Ancora, ancora!; e via con la distribuzione fino all’ultimo sacchetto quando il più piccolo, Gennaro, indica indignato il tavolo esclamando: “E quelle?”.
Parte la distribuzione, sempre una caramella alla volta fino a che Delfo, con l’ultima caramella in mano, guarda Gennaro dritto negli occhi ed esclama: “Eh no, questa no!”. E se la mangia lui.

Sul serio, dal fatto che $s\/\equiv\/11\/\left({\text mod}\/n\right)$ sappiamo che deve essere $n\/>\/11$ e anche $s^{\script 2}\/\equiv\/121\/\left({\text mod}\/n\right)$; quindi dobbiamo cercare il più piccolo divisore di $121\/-\/k$ che sia contemporaneamente maggiore di $11$.
Perché non $n\/=\/12$ e $k\/=\/1$? È richiesto che $n$ sia minimo dato $k$, non unico (e $n\/=\/12$ è proprio un minimo, a meno di non voler cercare un numero di bimbi $11\/<\/n\/<\/12$): l’“unicità” di Babbo Natale sembra rimandare, ammiccando, al valore di $k$.

Panurgo,
se la domanda è:

David ha scritto:...determinare per quale valore k il numero di bimbi sarà minimo.

allora la tua risposta è corretta.

Ma se la domanda è:

David ha scritto:...sostanzialmente bisogna trovare un resto k che sia abbinabile ad un solo gruppo di bambini e in presenza di più k con tali caratteristiche si prende quello abbinato al numero minore di bambini.

allora le cose si complicano.

Qual è la domanda giusta?

Gianfranco

P.S. L'immagine di Delfo vestito da Babbo Natale è fantastica!

Caro Gianfranco la soluzione è quella, e hai preso l'autostrada per trovarla e non una tortuosa stradina di montagna come ho fatto io!
Complimenti!
Auguri a tutti!

Grazie Davide,
anch'io ho preso una tortuosa strada di montagna che però ha il vantaggio di mostrarti fiori, piante, animali, funghi, rocce inaccessibili e un bel panorama.
DOPO aver trovato la soluzione ho visto l'autostrada.

Buon Anno

Gianfranco