Allora ci ho messo un po' più di tempo del previsto in quanto ho dovuto scrostare un po' di ruggine dagli ingranaggi cerebrali, ma forse ora dovremmo esserci.
Sfruttando teorema degli angoli opposti ad un vertice il problema si riduce al dimostrare che i due angoli adiacenti al vertice siano congruenti, infatti essendo questi supplementari se sono congruenti sono entrambi retti.
Se prendiamo un quadrilatero generico come quello con cui si è fatta la costruzione per l'ipotetico quadrilatero a diagonali perpendicolari e ci limitiamo a considerare un solo triangolo rettangolo isoscele costruito sul lato di questo ed il punto medio dell'ipotenusa (per semplicità facciamo la costruzione dalla parte dove l'intersezione delle due diagonali forma un angolo acuto)osserviamo che la riflessione del vertice d'intersezione dei 2 cateti rispetto al punto medio cade in un punto diverso dal punto di intersezione delle 2 diagonali.
Quindi costruendo il triangolo riflesso a quello precedentemente costruito, esso sarà sicuramente congruente ad esso e formerà un angolo alfa diverso da zero con la diagonale che per il teorema dell'angolo esterno dei triangoli se sarà sommato all'angolo acuto dell'intersezione delle diagonali farà proprio 90° cioè l'angolo retto del "triangolo riflesso".
Di conseguenza l'angolo all'intersezione sarà 90°- alfa e quello a lui adiacente sarà per supplementarità 90 +alfa.
Se rieseguiamo la stessa costruzione invece su un quadrilatero con le diagonali ortogonali si osserva che la riflessione del punto d'intersezione dei cateti è coincidente con quella delle due diagonali a meno di una rotazione di raggio pari all'altezza sull'ipotenusa del triangolo riflesso con centro al punto medio dell'ipotenusa e poichè la rotazione non varia l'ampiezza degli angoli la si può applicare andando a formare un angolo alfa nullo.
Quindi, eseguendo la costruzione sul quadrilatero ottenuto (e ruotandolo opportunamente) si osserva proprio la coincidenza tra le due intersezioni e quindi abbiamo proprio un angolo alfa nullo e quindi i due angoli adiacenti all'intersezione delle diagonali divengono rispettivamente
90°-0° e 90°+ 0° cioè entrambi retti, e conseguentemente rimane dimostrato che le due diagonali sono perpendicolari.
P.S. Avrei voluto postarvi il disegno che ho fatto con geogebra per rendere la spiegazione più chiara e meno descrittiva, ma è proprio più forte di me: anche stavolta non ci sono riuscito
.
P.S.S. Spero di essere stato comunque sufficientemente chiaro e di non aver preso una cantonata.